Интеграл sin(y)^(4) (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1           
      /           
     |            
     |     4      
     |  sin (y) dy
     |            
    /             
    0             
    01sin4(y)dy\int_{0}^{1} \sin^{4}{\left (y \right )}\, dy
    Подробное решение
    1. Перепишите подынтегральное выражение:

      sin4(y)=(12cos(2y)+12)2\sin^{4}{\left (y \right )} = \left(- \frac{1}{2} \cos{\left (2 y \right )} + \frac{1}{2}\right)^{2}

    2. Перепишите подынтегральное выражение:

      (12cos(2y)+12)2=14cos2(2y)12cos(2y)+14\left(- \frac{1}{2} \cos{\left (2 y \right )} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{1}{4} \cos^{2}{\left (2 y \right )} - \frac{1}{2} \cos{\left (2 y \right )} + \frac{1}{4}

    3. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        14cos2(2y)dy=14cos2(2y)dy\int \frac{1}{4} \cos^{2}{\left (2 y \right )}\, dy = \frac{1}{4} \int \cos^{2}{\left (2 y \right )}\, dy

        1. Перепишите подынтегральное выражение:

          cos2(2y)=12cos(4y)+12\cos^{2}{\left (2 y \right )} = \frac{1}{2} \cos{\left (4 y \right )} + \frac{1}{2}

        2. Интегрируем почленно:

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            12cos(4y)dy=12cos(4y)dy\int \frac{1}{2} \cos{\left (4 y \right )}\, dy = \frac{1}{2} \int \cos{\left (4 y \right )}\, dy

            1. пусть u=4yu = 4 y.

              Тогда пусть du=4dydu = 4 dy и подставим du4\frac{du}{4}:

              cos(u)du\int \cos{\left (u \right )}\, du

              1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                cos(u)du=14cos(u)du\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{4} \int \cos{\left (u \right )}\, du

                1. Интеграл от косинуса есть синус:

                  cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}

                Таким образом, результат будет: 14sin(u)\frac{1}{4} \sin{\left (u \right )}

              Если сейчас заменить uu ещё в:

              14sin(4y)\frac{1}{4} \sin{\left (4 y \right )}

            Таким образом, результат будет: 18sin(4y)\frac{1}{8} \sin{\left (4 y \right )}

          1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            12dy=y2\int \frac{1}{2}\, dy = \frac{y}{2}

          Результат есть: y2+18sin(4y)\frac{y}{2} + \frac{1}{8} \sin{\left (4 y \right )}

        Таким образом, результат будет: y8+132sin(4y)\frac{y}{8} + \frac{1}{32} \sin{\left (4 y \right )}

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        12cos(2y)dy=12cos(2y)dy\int - \frac{1}{2} \cos{\left (2 y \right )}\, dy = - \frac{1}{2} \int \cos{\left (2 y \right )}\, dy

        1. пусть u=2yu = 2 y.

          Тогда пусть du=2dydu = 2 dy и подставим du2\frac{du}{2}:

          cos(u)du\int \cos{\left (u \right )}\, du

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            cos(u)du=12cos(u)du\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{2} \int \cos{\left (u \right )}\, du

            1. Интеграл от косинуса есть синус:

              cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}

            Таким образом, результат будет: 12sin(u)\frac{1}{2} \sin{\left (u \right )}

          Если сейчас заменить uu ещё в:

          12sin(2y)\frac{1}{2} \sin{\left (2 y \right )}

        Таким образом, результат будет: 14sin(2y)- \frac{1}{4} \sin{\left (2 y \right )}

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

        14dy=y4\int \frac{1}{4}\, dy = \frac{y}{4}

      Результат есть: 3y814sin(2y)+132sin(4y)\frac{3 y}{8} - \frac{1}{4} \sin{\left (2 y \right )} + \frac{1}{32} \sin{\left (4 y \right )}

    4. Добавляем постоянную интегрирования:

      3y814sin(2y)+132sin(4y)+constant\frac{3 y}{8} - \frac{1}{4} \sin{\left (2 y \right )} + \frac{1}{32} \sin{\left (4 y \right )}+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    3y814sin(2y)+132sin(4y)+constant\frac{3 y}{8} - \frac{1}{4} \sin{\left (2 y \right )} + \frac{1}{32} \sin{\left (4 y \right )}+ \mathrm{constant}

    График
    02468-8-6-4-2-1010-1010
    Ответ [src]
      1                                                  
      /                                                  
     |                                        3          
     |     4         3   3*cos(1)*sin(1)   sin (1)*cos(1)
     |  sin (y) dy = - - --------------- - --------------
     |               8          8                4       
    /                                                    
    0                                                    
    sin48sin2+1232{{\sin 4-8\,\sin 2+12}\over{32}}
    Численный ответ [src]
    0.124025565315207
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                                          
     |                                           
     |    4             sin(2*y)   sin(4*y)   3*y
     | sin (y) dy = C - -------- + -------- + ---
     |                     4          32       8 
    /                                            
    sin(4y)2+2y8sin(2y)2+y22{{{{{{\sin \left(4\,y\right)}\over{2}}+2\,y}\over{8}}-{{\sin \left( 2\,y\right)}\over{2}}+{{y}\over{2}}}\over{2}}