Интеграл sin(y)^(4) (dx)

Вы ввели

  1           
  /           
 |            
 |     4      
 |  sin (y) dy
 |            
/             
0             

$$\int_{0}^{1} \sin^{4}{\left (y \right )}\, dy$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\sin^{4}{\left (y \right )} = \left(- \frac{1}{2} \cos{\left (2 y \right )} + \frac{1}{2}\right)^{2}$

2. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\left(- \frac{1}{2} \cos{\left (2 y \right )} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{1}{4} \cos^{2}{\left (2 y \right )} - \frac{1}{2} \cos{\left (2 y \right )} + \frac{1}{4}$

3. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{1}{4} \cos^{2}{\left (2 y \right )}\, dy = \frac{1}{4} \int \cos^{2}{\left (2 y \right )}\, dy$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\cos^{2}{\left (2 y \right )} = \frac{1}{2} \cos{\left (4 y \right )} + \frac{1}{2}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{2} \cos{\left (4 y \right )}\, dy = \frac{1}{2} \int \cos{\left (4 y \right )}\, dy$

            1. пусть $u = 4 y$.

               Тогда пусть $du = 4 dy$ и подставим $\frac{du}{4}$:

               $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{4} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

                  1. Интеграл от косинуса есть синус:

                     $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

                  Таким образом, результат будет: $\frac{1}{4} \sin{\left (u \right )}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\frac{1}{4} \sin{\left (4 y \right )}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{1}{8} \sin{\left (4 y \right )}$

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int \frac{1}{2}\, dy = \frac{y}{2}$

         Результат есть: $\frac{y}{2} + \frac{1}{8} \sin{\left (4 y \right )}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{y}{8} + \frac{1}{32} \sin{\left (4 y \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \frac{1}{2} \cos{\left (2 y \right )}\, dy = - \frac{1}{2} \int \cos{\left (2 y \right )}\, dy$

      1. пусть $u = 2 y$.

         Тогда пусть $du = 2 dy$ и подставим $\frac{du}{2}$:

         $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{2} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

            1. Интеграл от косинуса есть синус:

               $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \sin{\left (u \right )}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{1}{2} \sin{\left (2 y \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{4} \sin{\left (2 y \right )}$

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int \frac{1}{4}\, dy = \frac{y}{4}$

   Результат есть: $\frac{3 y}{8} - \frac{1}{4} \sin{\left (2 y \right )} + \frac{1}{32} \sin{\left (4 y \right )}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{3 y}{8} - \frac{1}{4} \sin{\left (2 y \right )} + \frac{1}{32} \sin{\left (4 y \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{3 y}{8} - \frac{1}{4} \sin{\left (2 y \right )} + \frac{1}{32} \sin{\left (4 y \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                                  
  /                                                  
 |                                        3          
 |     4         3   3*cos(1)*sin(1)   sin (1)*cos(1)
 |  sin (y) dy = - - --------------- - --------------
 |               8          8                4       
/                                                    
0                                                    

$${{\sin 4-8\,\sin 2+12}\over{32}}$$

Численный ответ

0.124025565315207

Ответ (Неопределённый)

  /                                          
 |                                           
 |    4             sin(2*y)   sin(4*y)   3*y
 | sin (y) dy = C - -------- + -------- + ---
 |                     4          32       8 
/                                            

$${{{{{{\sin \left(4\,y\right)}\over{2}}+2\,y}\over{8}}-{{\sin \left( 2\,y\right)}\over{2}}+{{y}\over{2}}}\over{2}}$$