Интеграл log(x+1) (dx)

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

    Решение

    Вы ввели
    [LaTeX]
      1              
      /              
     |               
     |  log(x + 1) dx
     |               
    /                
    0                
    $$\int_{0}^{1} \log{\left (x + 1 \right )}\, dx$$
    Подробное решение
    [LaTeX]
    1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть .

        Тогда пусть и подставим :

        1. Используем интегрирование по частям:

          пусть и пусть dx.

          Затем dx.

          Чтобы найти :

          1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

          Теперь решаем под-интеграл.

        2. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

        Если сейчас заменить ещё в:

      Метод #2

      1. Используем интегрирование по частям:

        пусть и пусть dx.

        Затем dx.

        Чтобы найти :

        1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

        Теперь решаем под-интеграл.

      2. Перепишите подынтегральное выражение:

      3. Интегрируем почленно:

        1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          1. пусть .

            Тогда пусть и подставим :

            1. Интеграл есть .

            Если сейчас заменить ещё в:

          Таким образом, результат будет:

        Результат есть:

    2. Теперь упростить:

    3. Добавляем постоянную интегрирования:


    Ответ:

    График
    [LaTeX]
    Ответ
    [LaTeX]
      1                              
      /                              
     |                               
     |  log(x + 1) dx = -1 + 2*log(2)
     |                               
    /                                
    0                                
    $$2\,\log 2-1$$
    Численный ответ
    [LaTeX]
    0.386294361119891
    Ответ (Неопределённый)
    [LaTeX]
      /                                               
     |                                                
     | log(x + 1) dx = -1 + C - x + (x + 1)*log(x + 1)
     |                                                
    /                                                 
    $$\left(x+1\right)\,\log \left(x+1\right)-x-1$$