Интеграл (e^x)/(5+e^x) (dx)

Вы ввели

  1          
  /          
 |           
 |     x     
 |    E      
 |  ------ dx
 |       x   
 |  5 + E    
 |           
/            
0            

$$\int_{0}^{1} \frac{e^{x}}{e^{x} + 5}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = e^{x}$.

      Тогда пусть $du = e^{x} dx$ и подставим $du$:

      $\int \frac{1}{u + 5}\, du$

      1. пусть $u = u + 5$.

         Тогда пусть $du = du$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\log{\left (u + 5 \right )}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\log{\left (e^{x} + 5 \right )}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{e^{x}}{e^{x} + 5} = \frac{e^{x}}{e^{x} + 5}$

   2. пусть $u = e^{x} + 5$.

      Тогда пусть $du = e^{x} dx$ и подставим $du$:

      $\int \frac{1}{u}\, du$

      1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\log{\left (e^{x} + 5 \right )}$

2. Теперь упростить:

   $\log{\left (e^{x} + 5 \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\log{\left (e^{x} + 5 \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\log{\left (e^{x} + 5 \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                 
  /                                 
 |                                  
 |     x                            
 |    E                             
 |  ------ dx = -log(6) + log(5 + E)
 |       x                          
 |  5 + E                           
 |                                  
/                                   
0                                   

$${{\log \left| E+5\right| }\over{\log E}}-{{\log 6}\over{\log E}}$$

Численный ответ

0.251832308957803

Ответ (Неопределённый)

  /                           
 |                            
 |    x                       
 |   E                /     x\
 | ------ dx = C + log\5 + E /
 |      x                     
 | 5 + E                      
 |                            
/                             

$${{\log \left(E^{x}+5\right)}\over{\log E}}$$