Интеграл (x-2)*dx/(x^2+4*x+5) (dx)

Вы ввели

  1                
  /                
 |                 
 |     x - 2       
 |  ------------ dx
 |   2             
 |  x  + 4*x + 5   
 |                 
/                  
0                  

$$\int_{0}^{1} \frac{x - 2}{x^{2} + 4 x + 5}\, dx$$

Подробное решение

Дан интеграл:

  /               
 |                
 |    x - 2       
 | ------------ dx
 |  2             
 | x  + 4*x + 5   
 |                
/                 

Перепишем подинтегральную функцию

               /  2*x + 4   \                
               |------------|                
               | 2          |                
   x - 2       \x  + 4*x + 5/         4      
------------ = -------------- - -------------
 2                   2                  2    
x  + 4*x + 5                    (-x - 2)  + 1

или

  /                 
 |                  
 |    x - 2         
 | ------------ dx  
 |  2              =
 | x  + 4*x + 5     
 |                  
/                   
  

  /                                       
 |                                        
 |   2*x + 4                              
 | ------------ dx                        
 |  2                                     
 | x  + 4*x + 5          /                
 |                      |                 
/                       |       1         
------------------ - 4* | ------------- dx
        2               |         2       
                        | (-x - 2)  + 1   
                        |                 
                       /                  

В интеграле

  /               
 |                
 |   2*x + 4      
 | ------------ dx
 |  2             
 | x  + 4*x + 5   
 |                
/                 
------------------
        2         

сделаем замену

     2      
u = x  + 4*x

тогда

интеграл =

  /                     
 |                      
 |   1                  
 | ----- du             
 | 5 + u                
 |                      
/             log(5 + u)
----------- = ----------
     2            2     

делаем обратную замену

  /                                   
 |                                    
 |   2*x + 4                          
 | ------------ dx                    
 |  2                                 
 | x  + 4*x + 5                       
 |                      /     2      \
/                    log\5 + x  + 4*x/
------------------ = -----------------
        2                    2        

В интеграле

     /                
    |                 
    |       1         
-4* | ------------- dx
    |         2       
    | (-x - 2)  + 1   
    |                 
   /                  

сделаем замену

v = -2 - x

тогда

интеграл =

     /                      
    |                       
    |   1                   
-4* | ------ dv = -4*atan(v)
    |      2                
    | 1 + v                 
    |                       
   /                        

делаем обратную замену

     /                                 
    |                                  
    |       1                          
-4* | ------------- dx = -4*atan(2 + x)
    |         2                        
    | (-x - 2)  + 1                    
    |                                  
   /                                   

Решением будет:

       /     2      \                
    log\5 + x  + 4*x/                
C + ----------------- - 4*atan(2 + x)
            2                        

Ответ

  1                                                           
  /                                                           
 |                                                            
 |     x - 2          log(10)                           log(5)
 |  ------------ dx = ------- - 4*atan(3) + 4*atan(2) - ------
 |   2                   2                                2   
 |  x  + 4*x + 5                                              
 |                                                            
/                                                             
0                                                             

$${{\log 10}\over{2}}-{{\log 5}\over{2}}-4\,\arctan 3+4\,\arctan 2$$

Численный ответ

-0.221014628136683

Ответ (Неопределённый)

  /                                                       
 |                          /     2      \                
 |    x - 2              log\5 + x  + 4*x/                
 | ------------ dx = C + ----------------- - 4*atan(2 + x)
 |  2                            2                        
 | x  + 4*x + 5                                           
 |                                                        
/                                                         

$${{\log \left(x^2+4\,x+5\right)}\over{2}}-4\,\arctan \left({{2\,x+4 }\over{2}}\right)$$