Интеграл (x-2)*dx/(x^2+4*x+5) (dx)

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

    Решение

    Вы ввели
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
      1                
      /                
     |                 
     |     x - 2       
     |  ------------ dx
     |   2             
     |  x  + 4*x + 5   
     |                 
    /                  
    0                  
    $$\int_{0}^{1} \frac{x - 2}{x^{2} + 4 x + 5}\, dx$$
    Подробное решение
    [TeX]
    Дан интеграл:
      /               
     |                
     |    x - 2       
     | ------------ dx
     |  2             
     | x  + 4*x + 5   
     |                
    /                 
    Перепишем подинтегральную функцию
                   /  2*x + 4   \                
                   |------------|                
                   | 2          |                
       x - 2       \x  + 4*x + 5/         4      
    ------------ = -------------- - -------------
     2                   2                  2    
    x  + 4*x + 5                    (-x - 2)  + 1
    или
      /                 
     |                  
     |    x - 2         
     | ------------ dx  
     |  2              =
     | x  + 4*x + 5     
     |                  
    /                   
      
      /                                       
     |                                        
     |   2*x + 4                              
     | ------------ dx                        
     |  2                                     
     | x  + 4*x + 5          /                
     |                      |                 
    /                       |       1         
    ------------------ - 4* | ------------- dx
            2               |         2       
                            | (-x - 2)  + 1   
                            |                 
                           /                  
    В интеграле
      /               
     |                
     |   2*x + 4      
     | ------------ dx
     |  2             
     | x  + 4*x + 5   
     |                
    /                 
    ------------------
            2         
    сделаем замену
         2      
    u = x  + 4*x
    тогда
    интеграл =
      /                     
     |                      
     |   1                  
     | ----- du             
     | 5 + u                
     |                      
    /             log(5 + u)
    ----------- = ----------
         2            2     
    делаем обратную замену
      /                                   
     |                                    
     |   2*x + 4                          
     | ------------ dx                    
     |  2                                 
     | x  + 4*x + 5                       
     |                      /     2      \
    /                    log\5 + x  + 4*x/
    ------------------ = -----------------
            2                    2        
    В интеграле
         /                
        |                 
        |       1         
    -4* | ------------- dx
        |         2       
        | (-x - 2)  + 1   
        |                 
       /                  
    сделаем замену
    v = -2 - x
    тогда
    интеграл =
         /                      
        |                       
        |   1                   
    -4* | ------ dv = -4*atan(v)
        |      2                
        | 1 + v                 
        |                       
       /                        
    делаем обратную замену
         /                                 
        |                                  
        |       1                          
    -4* | ------------- dx = -4*atan(2 + x)
        |         2                        
        | (-x - 2)  + 1                    
        |                                  
       /                                   
    Решением будет:
           /     2      \                
        log\5 + x  + 4*x/                
    C + ----------------- - 4*atan(2 + x)
                2                        
    График
    Ответ
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
      1                                                           
      /                                                           
     |                                                            
     |     x - 2          log(10)                           log(5)
     |  ------------ dx = ------- - 4*atan(3) + 4*atan(2) - ------
     |   2                   2                                2   
     |  x  + 4*x + 5                                              
     |                                                            
    /                                                             
    0                                                             
    $${{\log 10}\over{2}}-{{\log 5}\over{2}}-4\,\arctan 3+4\,\arctan 2$$
    Численный ответ
    [pretty]
    [text]
    -0.221014628136683
    Ответ (Неопределённый)
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
      /                                                       
     |                          /     2      \                
     |    x - 2              log\5 + x  + 4*x/                
     | ------------ dx = C + ----------------- - 4*atan(2 + x)
     |  2                            2                        
     | x  + 4*x + 5                                           
     |                                                        
    /                                                         
    $${{\log \left(x^2+4\,x+5\right)}\over{2}}-4\,\arctan \left({{2\,x+4 }\over{2}}\right)$$