Дан интеграл:
/
|
| x - 2
| ------------ dx
| 2
| x + 4*x + 5
|
/
Перепишем подинтегральную функцию
/ 2*x + 4 \
|------------|
| 2 |
x - 2 \x + 4*x + 5/ 4
------------ = -------------- - -------------
2 2 2
x + 4*x + 5 (-x - 2) + 1
или
/
|
| x - 2
| ------------ dx
| 2 =
| x + 4*x + 5
|
/
/
|
| 2*x + 4
| ------------ dx
| 2
| x + 4*x + 5 /
| |
/ | 1
------------------ - 4* | ------------- dx
2 | 2
| (-x - 2) + 1
|
/
В интеграле
/
|
| 2*x + 4
| ------------ dx
| 2
| x + 4*x + 5
|
/
------------------
2
сделаем замену
тогда
интеграл =
/
|
| 1
| ----- du
| 5 + u
|
/ log(5 + u)
----------- = ----------
2 2
делаем обратную замену
/
|
| 2*x + 4
| ------------ dx
| 2
| x + 4*x + 5
| / 2 \
/ log\5 + x + 4*x/
------------------ = -----------------
2 2
В интеграле
/
|
| 1
-4* | ------------- dx
| 2
| (-x - 2) + 1
|
/
сделаем замену
тогда
интеграл =
/
|
| 1
-4* | ------ dv = -4*atan(v)
| 2
| 1 + v
|
/
делаем обратную замену
/
|
| 1
-4* | ------------- dx = -4*atan(2 + x)
| 2
| (-x - 2) + 1
|
/
Решением будет:
/ 2 \
log\5 + x + 4*x/
C + ----------------- - 4*atan(2 + x)
2