Интеграл (e^(sqrt(x)))/(sqrt(x)) (dx)

  1          
  /          
 |           
 |     ___   
 |   \/ x    
 |  E        
 |  ------ dx
 |    ___    
 |  \/ x     
 |           
/            
0            

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = e^{\sqrt{x}}$.

      Тогда пусть $du = \frac{e^{\sqrt{x}} dx}{2 \sqrt{x}}$ и подставим $2 du$:

      $\int 1\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 1\, du = 2 \int 1\, du$

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 1\, du = u$

         Таким образом, результат будет: $2 u$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $2 e^{\sqrt{x}}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} = \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}$

   2. пусть $u = \sqrt{x}$.

      Тогда пусть $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ и подставим $2 du$:

      $\int e^{u}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int e^{u}\, du = 2 \int e^{u}\, du$

         1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Таким образом, результат будет: $2 e^{u}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $2 e^{\sqrt{x}}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $2 e^{\sqrt{x}}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$2 e^{\sqrt{x}}+ \mathrm{constant}$

  1                     
  /                     
 |                      
 |     ___              
 |   \/ x               
 |  E                   
 |  ------ dx = -2 + 2*E
 |    ___               
 |  \/ x                
 |                      
/                       
0                       

3.43656365638751

  /                        
 |                         
 |    ___                  
 |  \/ x                ___
 | E                  \/ x 
 | ------ dx = C + 2*e     
 |   ___                   
 | \/ x                    
 |                         
/