Интеграл dx/1+(x+1)^(1/3) (dx)

  1                   
  /                   
 |                    
 |  /    3 _______\   
 |  \1 + \/ x + 1 / dx
 |                    
/                     
0                     

1. Интегрируем почленно:

   1. пусть $u = x + 1$.

      Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

      $\int \sqrt[3]{u}\, du$

      1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int \sqrt[3]{u}\, du = \frac{3 u^{\frac{4}{3}}}{4}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{3}{4} \left(x + 1\right)^{\frac{4}{3}}$

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int 1\, dx = x$

   Результат есть: $x + \frac{3}{4} \left(x + 1\right)^{\frac{4}{3}}$

2. Теперь упростить:

   $x + \frac{3}{4} \left(x + 1\right)^{\frac{4}{3}}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $x + \frac{3}{4} \left(x + 1\right)^{\frac{4}{3}}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$x + \frac{3}{4} \left(x + 1\right)^{\frac{4}{3}}+ \mathrm{constant}$

  1                                 
  /                                 
 |                             3 ___
 |  /    3 _______\      1   3*\/ 2 
 |  \1 + \/ x + 1 / dx = - + -------
 |                       4      2   
/                                   
0                                   

2.13988157484231

  /                                         
 |                                       4/3
 | /    3 _______\              3*(x + 1)   
 | \1 + \/ x + 1 / dx = C + x + ------------
 |                                   4      
/