Интеграл (sin(x))^2*(cos(x))^2 (dx)

Вы ввели

[TeX]

[pretty]

[text]

  1                   
  /                   
 |                    
 |     2       2      
 |  sin (x)*cos (x) dx
 |                    
/                     
0                     

$$\int_{0}^{1} \sin^{2}{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (x \right )}\, dx$$

Подробное решение

[TeX]

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\sin^{2}{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (x \right )} = \left(- \frac{1}{2} \cos{\left (2 x \right )} + \frac{1}{2}\right) \left(\frac{1}{2} \cos{\left (2 x \right )} + \frac{1}{2}\right)$

2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 2 x$.

      Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $du$:

      $\int - \frac{1}{8} \cos^{2}{\left (u \right )} + \frac{1}{8}\, du$

      1. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int - \frac{1}{8} \cos^{2}{\left (u \right )}\, du = - \frac{1}{8} \int \cos^{2}{\left (u \right )}\, du$

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\cos^{2}{\left (u \right )} = \frac{1}{2} \cos{\left (2 u \right )} + \frac{1}{2}$

            2. Интегрируем почленно:

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \frac{1}{2} \cos{\left (2 u \right )}\, du = \frac{1}{2} \int \cos{\left (2 u \right )}\, du$

                  1. пусть $u = 2 u$.

                     Тогда пусть $du = 2 du$ и подставим $\frac{du}{2}$:

                     $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

                     1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                        $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{2} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

                        1. Интеграл от косинуса есть синус:

                           $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

                        Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \sin{\left (u \right )}$

                     Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                     $\frac{1}{2} \sin{\left (2 u \right )}$

                  Таким образом, результат будет: $\frac{1}{4} \sin{\left (2 u \right )}$

               1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                  $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$

               Результат есть: $\frac{u}{2} + \frac{1}{4} \sin{\left (2 u \right )}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{u}{16} - \frac{1}{32} \sin{\left (2 u \right )}$

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int \frac{1}{8}\, du = \frac{u}{8}$

         Результат есть: $\frac{u}{16} - \frac{1}{32} \sin{\left (2 u \right )}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{x}{8} - \frac{1}{32} \sin{\left (4 x \right )}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(- \frac{1}{2} \cos{\left (2 x \right )} + \frac{1}{2}\right) \left(\frac{1}{2} \cos{\left (2 x \right )} + \frac{1}{2}\right) = - \frac{1}{4} \cos^{2}{\left (2 x \right )} + \frac{1}{4}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{1}{4} \cos^{2}{\left (2 x \right )}\, dx = - \frac{1}{4} \int \cos^{2}{\left (2 x \right )}\, dx$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\cos^{2}{\left (2 x \right )} = \frac{1}{2} \cos{\left (4 x \right )} + \frac{1}{2}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{1}{2} \cos{\left (4 x \right )}\, dx = \frac{1}{2} \int \cos{\left (4 x \right )}\, dx$

               1. пусть $u = 4 x$.

                  Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$:

                  $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{4} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

                     1. Интеграл от косинуса есть синус:

                        $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

                     Таким образом, результат будет: $\frac{1}{4} \sin{\left (u \right )}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\frac{1}{4} \sin{\left (4 x \right )}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{1}{8} \sin{\left (4 x \right )}$

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

            Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{1}{8} \sin{\left (4 x \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{x}{8} - \frac{1}{32} \sin{\left (4 x \right )}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}$

      Результат есть: $\frac{x}{8} - \frac{1}{32} \sin{\left (4 x \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x}{8} - \frac{1}{32} \sin{\left (4 x \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{x}{8} - \frac{1}{32} \sin{\left (4 x \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

[TeX]

[pretty]

[text]

  1                                       
  /                                       
 |                                        
 |     2       2         1   cos(2)*sin(2)
 |  sin (x)*cos (x) dx = - - -------------
 |                       8         16     
/                                         
0                                         

$$-{{\sin 4-4}\over{32}}$$

Численный ответ

[pretty]

[text]

0.148650077978373

Ответ (Неопределённый)

[TeX]

[pretty]

[text]

  /                                     
 |                                      
 |    2       2             sin(4*x)   x
 | sin (x)*cos (x) dx = C - -------- + -
 |                             32      8
/                                       

$${{2\,x-{{\sin \left(4\,x\right)}\over{2}}}\over{16}}$$

Упростить