Интеграл (2*x+3)*log(x-2) (dx)

Вы ввели

  1                        
  /                        
 |                         
 |  (2*x + 3)*log(x - 2) dx
 |                         
/                          
0                          

$$\int_{0}^{1} \left(2 x + 3\right) \log{\left (x - 2 \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\left(2 x + 3\right) \log{\left (x - 2 \right )} = 2 x \log{\left (x - 2 \right )} + 3 \log{\left (x - 2 \right )}$

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 2 x \log{\left (x - 2 \right )}\, dx = 2 \int x \log{\left (x - 2 \right )}\, dx$

      1. Используем интегрирование по частям:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         пусть $u{\left (x \right )} = \log{\left (x - 2 \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = x$ dx.

         Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{1}{x - 2}$ dx.

         Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Теперь решаем под-интеграл.

      2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{x^{2}}{2 x - 4}\, dx = \frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{x - 2}\, dx$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{x^{2}}{x - 2} = x + 2 + \frac{4}{x - 2}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int 2\, dx = 2 x$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{4}{x - 2}\, dx = 4 \int \frac{1}{x - 2}\, dx$

               1. пусть $u = x - 2$.

                  Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\log{\left (x - 2 \right )}$

               Таким образом, результат будет: $4 \log{\left (x - 2 \right )}$

            Результат есть: $\frac{x^{2}}{2} + 2 x + 4 \log{\left (x - 2 \right )}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{x^{2}}{4} + x + 2 \log{\left (x - 2 \right )}$

      Таким образом, результат будет: $x^{2} \log{\left (x - 2 \right )} - \frac{x^{2}}{2} - 2 x - 4 \log{\left (x - 2 \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 3 \log{\left (x - 2 \right )}\, dx = 3 \int \log{\left (x - 2 \right )}\, dx$

      1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

         Метод #1

         1. пусть $u = x - 2$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \log{\left (u \right )}\, du$

            1. Используем интегрирование по частям:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               пусть $u{\left (u \right )} = \log{\left (u \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (u \right )} = 1$ dx.

               Затем $\operatorname{du}{\left (u \right )} = \frac{1}{u}$ dx.

               Чтобы найти $v{\left (u \right )}$:

               1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                  $\int 1\, du = u$

               Теперь решаем под-интеграл.

            2. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int 1\, du = u$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- x + \left(x - 2\right) \log{\left (x - 2 \right )} + 2$

         Метод #2

         1. Используем интегрирование по частям:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            пусть $u{\left (x \right )} = \log{\left (x - 2 \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = 1$ dx.

            Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{1}{x - 2}$ dx.

            Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int 1\, dx = x$

            Теперь решаем под-интеграл.

         2. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{x}{x - 2} = 1 + \frac{2}{x - 2}$

         3. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int 1\, dx = x$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{2}{x - 2}\, dx = 2 \int \frac{1}{x - 2}\, dx$

               1. пусть $u = x - 2$.

                  Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\log{\left (x - 2 \right )}$

               Таким образом, результат будет: $2 \log{\left (x - 2 \right )}$

            Результат есть: $x + 2 \log{\left (x - 2 \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- 3 x + 3 \left(x - 2\right) \log{\left (x - 2 \right )} + 6$

   Результат есть: $x^{2} \log{\left (x - 2 \right )} - \frac{x^{2}}{2} - 5 x + 3 \left(x - 2\right) \log{\left (x - 2 \right )} - 4 \log{\left (x - 2 \right )} + 6$

3. Теперь упростить:

   $x^{2} \log{\left (x - 2 \right )} - \frac{x^{2}}{2} + 3 x \log{\left (x - 2 \right )} - 5 x - 10 \log{\left (x - 2 \right )} + 6$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $x^{2} \log{\left (x - 2 \right )} - \frac{x^{2}}{2} + 3 x \log{\left (x - 2 \right )} - 5 x - 10 \log{\left (x - 2 \right )} + 6+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$x^{2} \log{\left (x - 2 \right )} - \frac{x^{2}}{2} + 3 x \log{\left (x - 2 \right )} - 5 x - 10 \log{\left (x - 2 \right )} + 6+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                                     
  /                                                     
 |                                                      
 |  (2*x + 3)*log(x - 2) dx = -11/2 + 10*log(2) + 4*pi*I
 |                                                      
/                                                       
0                                                       

$$-{{12\,\log \left(-1\right)-13}\over{2}}+10\,\log \left(-2\right)- 12$$

Ответ (Неопределённый)

  /                                                         2                                       
 |                                                         x     2                                  
 | (2*x + 3)*log(x - 2) dx = 6 + C - 5*x - 4*log(-2 + x) - -- + x *log(x - 2) + 3*(x - 2)*log(x - 2)
 |                                                         2                                        
/                                                                                                   

$$-{{x^2+10\,x}\over{2}}+\log \left(x-2\right)\,\left(x^2+3\,x\right) -10\,\log \left(x-2\right)$$