Интеграл (2*x+3)*log(x-2) (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1                        
      /                        
     |                         
     |  (2*x + 3)*log(x - 2) dx
     |                         
    /                          
    0                          
    01(2x+3)log(x2)dx\int_{0}^{1} \left(2 x + 3\right) \log{\left (x - 2 \right )}\, dx
    Подробное решение
    1. Перепишите подынтегральное выражение:

      (2x+3)log(x2)=2xlog(x2)+3log(x2)\left(2 x + 3\right) \log{\left (x - 2 \right )} = 2 x \log{\left (x - 2 \right )} + 3 \log{\left (x - 2 \right )}

    2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        2xlog(x2)dx=2xlog(x2)dx\int 2 x \log{\left (x - 2 \right )}\, dx = 2 \int x \log{\left (x - 2 \right )}\, dx

        1. Используем интегрирование по частям:

          udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          пусть u(x)=log(x2)u{\left (x \right )} = \log{\left (x - 2 \right )} и пусть dv(x)=x\operatorname{dv}{\left (x \right )} = x dx.

          Затем du(x)=1x2\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{1}{x - 2} dx.

          Чтобы найти v(x)v{\left (x \right )}:

          1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1}:

            xdx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

          Теперь решаем под-интеграл.

        2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          x22x4dx=12x2x2dx\int \frac{x^{2}}{2 x - 4}\, dx = \frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{x - 2}\, dx

          1. Перепишите подынтегральное выражение:

            x2x2=x+2+4x2\frac{x^{2}}{x - 2} = x + 2 + \frac{4}{x - 2}

          2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1}:

              xdx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

              2dx=2x\int 2\, dx = 2 x

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              4x2dx=41x2dx\int \frac{4}{x - 2}\, dx = 4 \int \frac{1}{x - 2}\, dx

              1. пусть u=x2u = x - 2.

                Тогда пусть du=dxdu = dx и подставим dudu:

                1udu\int \frac{1}{u}\, du

                1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log(u)\log{\left (u \right )}.

                Если сейчас заменить uu ещё в:

                log(x2)\log{\left (x - 2 \right )}

              Таким образом, результат будет: 4log(x2)4 \log{\left (x - 2 \right )}

            Результат есть: x22+2x+4log(x2)\frac{x^{2}}{2} + 2 x + 4 \log{\left (x - 2 \right )}

          Таким образом, результат будет: x24+x+2log(x2)\frac{x^{2}}{4} + x + 2 \log{\left (x - 2 \right )}

        Таким образом, результат будет: x2log(x2)x222x4log(x2)x^{2} \log{\left (x - 2 \right )} - \frac{x^{2}}{2} - 2 x - 4 \log{\left (x - 2 \right )}

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        3log(x2)dx=3log(x2)dx\int 3 \log{\left (x - 2 \right )}\, dx = 3 \int \log{\left (x - 2 \right )}\, dx

        1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

          Метод #1

          1. пусть u=x2u = x - 2.

            Тогда пусть du=dxdu = dx и подставим dudu:

            log(u)du\int \log{\left (u \right )}\, du

            1. Используем интегрирование по частям:

              udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

              пусть u(u)=log(u)u{\left (u \right )} = \log{\left (u \right )} и пусть dv(u)=1\operatorname{dv}{\left (u \right )} = 1 dx.

              Затем du(u)=1u\operatorname{du}{\left (u \right )} = \frac{1}{u} dx.

              Чтобы найти v(u)v{\left (u \right )}:

              1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                1du=u\int 1\, du = u

              Теперь решаем под-интеграл.

            2. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

              1du=u\int 1\, du = u

            Если сейчас заменить uu ещё в:

            x+(x2)log(x2)+2- x + \left(x - 2\right) \log{\left (x - 2 \right )} + 2

          Метод #2

          1. Используем интегрирование по частям:

            udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            пусть u(x)=log(x2)u{\left (x \right )} = \log{\left (x - 2 \right )} и пусть dv(x)=1\operatorname{dv}{\left (x \right )} = 1 dx.

            Затем du(x)=1x2\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{1}{x - 2} dx.

            Чтобы найти v(x)v{\left (x \right )}:

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

              1dx=x\int 1\, dx = x

            Теперь решаем под-интеграл.

          2. Перепишите подынтегральное выражение:

            xx2=1+2x2\frac{x}{x - 2} = 1 + \frac{2}{x - 2}

          3. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

              1dx=x\int 1\, dx = x

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              2x2dx=21x2dx\int \frac{2}{x - 2}\, dx = 2 \int \frac{1}{x - 2}\, dx

              1. пусть u=x2u = x - 2.

                Тогда пусть du=dxdu = dx и подставим dudu:

                1udu\int \frac{1}{u}\, du

                1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log(u)\log{\left (u \right )}.

                Если сейчас заменить uu ещё в:

                log(x2)\log{\left (x - 2 \right )}

              Таким образом, результат будет: 2log(x2)2 \log{\left (x - 2 \right )}

            Результат есть: x+2log(x2)x + 2 \log{\left (x - 2 \right )}

        Таким образом, результат будет: 3x+3(x2)log(x2)+6- 3 x + 3 \left(x - 2\right) \log{\left (x - 2 \right )} + 6

      Результат есть: x2log(x2)x225x+3(x2)log(x2)4log(x2)+6x^{2} \log{\left (x - 2 \right )} - \frac{x^{2}}{2} - 5 x + 3 \left(x - 2\right) \log{\left (x - 2 \right )} - 4 \log{\left (x - 2 \right )} + 6

    3. Теперь упростить:

      x2log(x2)x22+3xlog(x2)5x10log(x2)+6x^{2} \log{\left (x - 2 \right )} - \frac{x^{2}}{2} + 3 x \log{\left (x - 2 \right )} - 5 x - 10 \log{\left (x - 2 \right )} + 6

    4. Добавляем постоянную интегрирования:

      x2log(x2)x22+3xlog(x2)5x10log(x2)+6+constantx^{2} \log{\left (x - 2 \right )} - \frac{x^{2}}{2} + 3 x \log{\left (x - 2 \right )} - 5 x - 10 \log{\left (x - 2 \right )} + 6+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    x2log(x2)x22+3xlog(x2)5x10log(x2)+6+constantx^{2} \log{\left (x - 2 \right )} - \frac{x^{2}}{2} + 3 x \log{\left (x - 2 \right )} - 5 x - 10 \log{\left (x - 2 \right )} + 6+ \mathrm{constant}

    График
    02468-8-6-4-2-1010-200200
    Ответ [src]
      1                                                     
      /                                                     
     |                                                      
     |  (2*x + 3)*log(x - 2) dx = -11/2 + 10*log(2) + 4*pi*I
     |                                                      
    /                                                       
    0                                                       
    12log(1)132+10log(2)12-{{12\,\log \left(-1\right)-13}\over{2}}+10\,\log \left(-2\right)- 12
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                                                         2                                       
     |                                                         x     2                                  
     | (2*x + 3)*log(x - 2) dx = 6 + C - 5*x - 4*log(-2 + x) - -- + x *log(x - 2) + 3*(x - 2)*log(x - 2)
     |                                                         2                                        
    /                                                                                                   
    x2+10x2+log(x2)(x2+3x)10log(x2)-{{x^2+10\,x}\over{2}}+\log \left(x-2\right)\,\left(x^2+3\,x\right) -10\,\log \left(x-2\right)