Интеграл (2*x+3)*log(x-2) (dx)

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

    Решение

    Вы ввели [src]
      1                        
      /                        
     |                         
     |  (2*x + 3)*log(x - 2) dx
     |                         
    /                          
    0                          
    $$\int_{0}^{1} \left(2 x + 3\right) \log{\left (x - 2 \right )}\, dx$$
    Подробное решение
    1. Перепишите подынтегральное выражение:

    2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        1. Используем интегрирование по частям:

          пусть и пусть dx.

          Затем dx.

          Чтобы найти :

          1. Интеграл есть :

          Теперь решаем под-интеграл.

        2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          1. Перепишите подынтегральное выражение:

          2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл есть :

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              1. пусть .

                Тогда пусть и подставим :

                1. Интеграл есть .

                Если сейчас заменить ещё в:

              Таким образом, результат будет:

            Результат есть:

          Таким образом, результат будет:

        Таким образом, результат будет:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

          Метод #1

          1. пусть .

            Тогда пусть и подставим :

            1. Используем интегрирование по частям:

              пусть и пусть dx.

              Затем dx.

              Чтобы найти :

              1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

              Теперь решаем под-интеграл.

            2. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            Если сейчас заменить ещё в:

          Метод #2

          1. Используем интегрирование по частям:

            пусть и пусть dx.

            Затем dx.

            Чтобы найти :

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            Теперь решаем под-интеграл.

          2. Перепишите подынтегральное выражение:

          3. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              1. пусть .

                Тогда пусть и подставим :

                1. Интеграл есть .

                Если сейчас заменить ещё в:

              Таким образом, результат будет:

            Результат есть:

        Таким образом, результат будет:

      Результат есть:

    3. Теперь упростить:

    4. Добавляем постоянную интегрирования:


    Ответ:

    График
    Ответ [src]
      1                                                     
      /                                                     
     |                                                      
     |  (2*x + 3)*log(x - 2) dx = -11/2 + 10*log(2) + 4*pi*I
     |                                                      
    /                                                       
    0                                                       
    $$-{{12\,\log \left(-1\right)-13}\over{2}}+10\,\log \left(-2\right)- 12$$
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                                                         2                                       
     |                                                         x     2                                  
     | (2*x + 3)*log(x - 2) dx = 6 + C - 5*x - 4*log(-2 + x) - -- + x *log(x - 2) + 3*(x - 2)*log(x - 2)
     |                                                         2                                        
    /                                                                                                   
    $$-{{x^2+10\,x}\over{2}}+\log \left(x-2\right)\,\left(x^2+3\,x\right) -10\,\log \left(x-2\right)$$