Интеграл (x+log(x+1))/(1+x) (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1                  
      /                  
     |                   
     |  x + log(x + 1)   
     |  -------------- dx
     |      1 + x        
     |                   
    /                    
    0                    
    011x+1(x+log(x+1))dx\int_{0}^{1} \frac{1}{x + 1} \left(x + \log{\left (x + 1 \right )}\right)\, dx
    Подробное решение
    1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть u=x+1u = x + 1.

        Тогда пусть du=dxdu = dx и подставим dudu:

        1u(u+log(u)1)du\int \frac{1}{u} \left(u + \log{\left (u \right )} - 1\right)\, du

        1. Перепишите подынтегральное выражение:

          1u(u+log(u)1)=1+1ulog(u)1u\frac{1}{u} \left(u + \log{\left (u \right )} - 1\right) = 1 + \frac{1}{u} \log{\left (u \right )} - \frac{1}{u}

        2. Интегрируем почленно:

          1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            1du=u\int 1\, du = u

          1. пусть u=log(u)u = \log{\left (u \right )}.

            Тогда пусть du=duudu = \frac{du}{u} и подставим dudu:

            udu\int u\, du

            1. Интеграл unu^{n} есть un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1}:

              udu=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

            Если сейчас заменить uu ещё в:

            12log2(u)\frac{1}{2} \log^{2}{\left (u \right )}

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            1udu=1udu\int - \frac{1}{u}\, du = - \int \frac{1}{u}\, du

            1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log(u)\log{\left (u \right )}.

            Таким образом, результат будет: log(u)- \log{\left (u \right )}

          Результат есть: u+12log2(u)log(u)u + \frac{1}{2} \log^{2}{\left (u \right )} - \log{\left (u \right )}

        Если сейчас заменить uu ещё в:

        x+12log2(x+1)log(x+1)+1x + \frac{1}{2} \log^{2}{\left (x + 1 \right )} - \log{\left (x + 1 \right )} + 1

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

        1x+1(x+log(x+1))=xx+1+log(x+1)x+1\frac{1}{x + 1} \left(x + \log{\left (x + 1 \right )}\right) = \frac{x}{x + 1} + \frac{\log{\left (x + 1 \right )}}{x + 1}

      2. Интегрируем почленно:

        1. Перепишите подынтегральное выражение:

          xx+1=11x+1\frac{x}{x + 1} = 1 - \frac{1}{x + 1}

        2. Интегрируем почленно:

          1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            1dx=x\int 1\, dx = x

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            1x+1dx=1x+1dx\int - \frac{1}{x + 1}\, dx = - \int \frac{1}{x + 1}\, dx

            1. пусть u=x+1u = x + 1.

              Тогда пусть du=dxdu = dx и подставим dudu:

              1udu\int \frac{1}{u}\, du

              1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log(u)\log{\left (u \right )}.

              Если сейчас заменить uu ещё в:

              log(x+1)\log{\left (x + 1 \right )}

            Таким образом, результат будет: log(x+1)- \log{\left (x + 1 \right )}

          Результат есть: xlog(x+1)x - \log{\left (x + 1 \right )}

        1. пусть u=x+1u = x + 1.

          Тогда пусть du=dxdu = dx и подставим dudu:

          1ulog(u)du\int \frac{1}{u} \log{\left (u \right )}\, du

          1. пусть u=log(u)u = \log{\left (u \right )}.

            Тогда пусть du=duudu = \frac{du}{u} и подставим dudu:

            udu\int u\, du

            1. Интеграл unu^{n} есть un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1}:

              udu=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

            Если сейчас заменить uu ещё в:

            12log2(u)\frac{1}{2} \log^{2}{\left (u \right )}

          Если сейчас заменить uu ещё в:

          12log2(x+1)\frac{1}{2} \log^{2}{\left (x + 1 \right )}

        Результат есть: x+12log2(x+1)log(x+1)x + \frac{1}{2} \log^{2}{\left (x + 1 \right )} - \log{\left (x + 1 \right )}

    2. Добавляем постоянную интегрирования:

      x+12log2(x+1)log(x+1)+1+constantx + \frac{1}{2} \log^{2}{\left (x + 1 \right )} - \log{\left (x + 1 \right )} + 1+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    x+12log2(x+1)log(x+1)+1+constantx + \frac{1}{2} \log^{2}{\left (x + 1 \right )} - \log{\left (x + 1 \right )} + 1+ \mathrm{constant}

    График
    02468-8-6-4-2-1010-5050
    Ответ [src]
      1                                         
      /                                         
     |                             2            
     |  x + log(x + 1)          log (2)         
     |  -------------- dx = 1 + ------- - log(2)
     |      1 + x                  2            
     |                                          
    /                                           
    0                                           
    (log2)22log2+421{{\left(\log 2\right)^2-2\,\log 2+4}\over{2}}-1
    Численный ответ [src]
    0.547079326399155
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                                                        
     |                                    2                    
     | x + log(x + 1)                  log (1 + x)             
     | -------------- dx = 1 + C + x + ----------- - log(1 + x)
     |     1 + x                            2                  
     |                                                         
    /                                                          
    (log(x+1))22log(x+1)+x{{\left(\log \left(x+1\right)\right)^2}\over{2}}-\log \left(x+1 \right)+x