Интеграл (x+log(x+1))/(1+x) (dx)

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Ввести:

{ кусочно-заданную функцию можно здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1                  
      /                  
     |                   
     |  x + log(x + 1)   
     |  -------------- dx
     |      1 + x        
     |                   
    /                    
    0                    
    $$\int_{0}^{1} \frac{1}{x + 1} \left(x + \log{\left (x + 1 \right )}\right)\, dx$$
    Подробное решение
    1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть .

        Тогда пусть и подставим :

        1. Перепишите подынтегральное выражение:

        2. Интегрируем почленно:

          1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

          1. пусть .

            Тогда пусть и подставим :

            1. Интеграл есть :

            Если сейчас заменить ещё в:

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            1. Интеграл есть .

            Таким образом, результат будет:

          Результат есть:

        Если сейчас заменить ещё в:

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

      2. Интегрируем почленно:

        1. Перепишите подынтегральное выражение:

        2. Интегрируем почленно:

          1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            1. пусть .

              Тогда пусть и подставим :

              1. Интеграл есть .

              Если сейчас заменить ещё в:

            Таким образом, результат будет:

          Результат есть:

        1. пусть .

          Тогда пусть и подставим :

          1. пусть .

            Тогда пусть и подставим :

            1. Интеграл есть :

            Если сейчас заменить ещё в:

          Если сейчас заменить ещё в:

        Результат есть:

    2. Добавляем постоянную интегрирования:


    Ответ:

    График
    Ответ [src]
      1                                         
      /                                         
     |                             2            
     |  x + log(x + 1)          log (2)         
     |  -------------- dx = 1 + ------- - log(2)
     |      1 + x                  2            
     |                                          
    /                                           
    0                                           
    $${{\left(\log 2\right)^2-2\,\log 2+4}\over{2}}-1$$
    Численный ответ [src]
    0.547079326399155
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                                                        
     |                                    2                    
     | x + log(x + 1)                  log (1 + x)             
     | -------------- dx = 1 + C + x + ----------- - log(1 + x)
     |     1 + x                            2                  
     |                                                         
    /                                                          
    $${{\left(\log \left(x+1\right)\right)^2}\over{2}}-\log \left(x+1 \right)+x$$
    ×

    Где учитесь?

    Для правильного составления решения, укажите: