Интеграл (x+log(x+1))/(1+x) (dx)

Вы ввели

  1                  
  /                  
 |                   
 |  x + log(x + 1)   
 |  -------------- dx
 |      1 + x        
 |                   
/                    
0                    

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{x + 1} \left(x + \log{\left (x + 1 \right )}\right)\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = x + 1$.

      Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

      $\int \frac{1}{u} \left(u + \log{\left (u \right )} - 1\right)\, du$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{1}{u} \left(u + \log{\left (u \right )} - 1\right) = 1 + \frac{1}{u} \log{\left (u \right )} - \frac{1}{u}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 1\, du = u$

         1. пусть $u = \log{\left (u \right )}$.

            Тогда пусть $du = \frac{du}{u}$ и подставим $du$:

            $\int u\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{1}{2} \log^{2}{\left (u \right )}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int - \frac{1}{u}\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Таким образом, результат будет: $- \log{\left (u \right )}$

         Результат есть: $u + \frac{1}{2} \log^{2}{\left (u \right )} - \log{\left (u \right )}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $x + \frac{1}{2} \log^{2}{\left (x + 1 \right )} - \log{\left (x + 1 \right )} + 1$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{1}{x + 1} \left(x + \log{\left (x + 1 \right )}\right) = \frac{x}{x + 1} + \frac{\log{\left (x + 1 \right )}}{x + 1}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{x}{x + 1} = 1 - \frac{1}{x + 1}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 1\, dx = x$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int - \frac{1}{x + 1}\, dx = - \int \frac{1}{x + 1}\, dx$

            1. пусть $u = x + 1$.

               Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\log{\left (x + 1 \right )}$

            Таким образом, результат будет: $- \log{\left (x + 1 \right )}$

         Результат есть: $x - \log{\left (x + 1 \right )}$

      1. пусть $u = x + 1$.

         Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u} \log{\left (u \right )}\, du$

         1. пусть $u = \log{\left (u \right )}$.

            Тогда пусть $du = \frac{du}{u}$ и подставим $du$:

            $\int u\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{1}{2} \log^{2}{\left (u \right )}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{1}{2} \log^{2}{\left (x + 1 \right )}$

      Результат есть: $x + \frac{1}{2} \log^{2}{\left (x + 1 \right )} - \log{\left (x + 1 \right )}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $x + \frac{1}{2} \log^{2}{\left (x + 1 \right )} - \log{\left (x + 1 \right )} + 1+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$x + \frac{1}{2} \log^{2}{\left (x + 1 \right )} - \log{\left (x + 1 \right )} + 1+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                         
  /                                         
 |                             2            
 |  x + log(x + 1)          log (2)         
 |  -------------- dx = 1 + ------- - log(2)
 |      1 + x                  2            
 |                                          
/                                           
0                                           

$${{\left(\log 2\right)^2-2\,\log 2+4}\over{2}}-1$$

Численный ответ

0.547079326399155

Ответ (Неопределённый)

  /                                                        
 |                                    2                    
 | x + log(x + 1)                  log (1 + x)             
 | -------------- dx = 1 + C + x + ----------- - log(1 + x)
 |     1 + x                            2                  
 |                                                         
/                                                          

$${{\left(\log \left(x+1\right)\right)^2}\over{2}}-\log \left(x+1 \right)+x$$