Интеграл (2*x+4)*(2*x-4) (dx)

  1                       
  /                       
 |                        
 |  (2*x + 4)*(2*x - 4) dx
 |                        
/                         
0                         

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 2 x$.

      Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $du$:

      $\int \frac{u^{2}}{2} - 8\, du$

      1. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{u^{2}}{2}\, du = \frac{1}{2} \int u^{2}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{u^{3}}{6}$

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int -8\, du = - 8 u$

         Результат есть: $\frac{u^{3}}{6} - 8 u$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{4 x^{3}}{3} - 16 x$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(2 x - 4\right) \left(2 x + 4\right) = 4 x^{2} - 16$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 4 x^{2}\, dx = 4 \int x^{2}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{4 x^{3}}{3}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int -16\, dx = - 16 x$

      Результат есть: $\frac{4 x^{3}}{3} - 16 x$

2. Теперь упростить:

   $\frac{4 x}{3} \left(x^{2} - 12\right)$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{4 x}{3} \left(x^{2} - 12\right)+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{4 x}{3} \left(x^{2} - 12\right)+ \mathrm{constant}$

  1                               
  /                               
 |                                
 |  (2*x + 4)*(2*x - 4) dx = -44/3
 |                                
/                                 
0                                 

-14.6666666666667

  /                                       3
 |                                     4*x 
 | (2*x + 4)*(2*x - 4) dx = C - 16*x + ----
 |                                      3  
/