Интеграл (2*x+4)*(2*x-4) (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1                       
      /                       
     |                        
     |  (2*x + 4)*(2*x - 4) dx
     |                        
    /                         
    0                         
    01(2x4)(2x+4)dx\int_{0}^{1} \left(2 x - 4\right) \left(2 x + 4\right)\, dx
    Подробное решение
    1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть u=2xu = 2 x.

        Тогда пусть du=2dxdu = 2 dx и подставим dudu:

        u228du\int \frac{u^{2}}{2} - 8\, du

        1. Интегрируем почленно:

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            u22du=12u2du\int \frac{u^{2}}{2}\, du = \frac{1}{2} \int u^{2}\, du

            1. Интеграл unu^{n} есть un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1}:

              u2du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

            Таким образом, результат будет: u36\frac{u^{3}}{6}

          1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            8du=8u\int -8\, du = - 8 u

          Результат есть: u368u\frac{u^{3}}{6} - 8 u

        Если сейчас заменить uu ещё в:

        4x3316x\frac{4 x^{3}}{3} - 16 x

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

        (2x4)(2x+4)=4x216\left(2 x - 4\right) \left(2 x + 4\right) = 4 x^{2} - 16

      2. Интегрируем почленно:

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          4x2dx=4x2dx\int 4 x^{2}\, dx = 4 \int x^{2}\, dx

          1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1}:

            x2dx=x33\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}

          Таким образом, результат будет: 4x33\frac{4 x^{3}}{3}

        1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

          16dx=16x\int -16\, dx = - 16 x

        Результат есть: 4x3316x\frac{4 x^{3}}{3} - 16 x

    2. Теперь упростить:

      4x3(x212)\frac{4 x}{3} \left(x^{2} - 12\right)

    3. Добавляем постоянную интегрирования:

      4x3(x212)+constant\frac{4 x}{3} \left(x^{2} - 12\right)+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    4x3(x212)+constant\frac{4 x}{3} \left(x^{2} - 12\right)+ \mathrm{constant}

    График
    02468-8-6-4-2-1010-25002500
    Ответ [src]
      1                               
      /                               
     |                                
     |  (2*x + 4)*(2*x - 4) dx = -44/3
     |                                
    /                                 
    0                                 
    443-{{44}\over{3}}
    Численный ответ [src]
    -14.6666666666667
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                                       3
     |                                     4*x 
     | (2*x + 4)*(2*x - 4) dx = C - 16*x + ----
     |                                      3  
    /                                          
    4x348x3{{4\,x^3-48\,x}\over{3}}