Интеграл (1+4*x)^5 (dx)

Вы ввели

  1              
  /              
 |               
 |           5   
 |  (1 + 4*x)  dx
 |               
/                
0                

$$\int_{0}^{1} \left(4 x + 1\right)^{5}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 4 x + 1$.

      Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$:

      $\int u^{5}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int u^{5}\, du = \frac{1}{4} \int u^{5}\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int u^{5}\, du = \frac{u^{6}}{6}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{u^{6}}{24}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{1}{24} \left(4 x + 1\right)^{6}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(4 x + 1\right)^{5} = 1024 x^{5} + 1280 x^{4} + 640 x^{3} + 160 x^{2} + 20 x + 1$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 1024 x^{5}\, dx = 1024 \int x^{5}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{512 x^{6}}{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 1280 x^{4}\, dx = 1280 \int x^{4}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Таким образом, результат будет: $256 x^{5}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 640 x^{3}\, dx = 640 \int x^{3}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $160 x^{4}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 160 x^{2}\, dx = 160 \int x^{2}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{160 x^{3}}{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 20 x\, dx = 20 \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $10 x^{2}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      Результат есть: $\frac{512 x^{6}}{3} + 256 x^{5} + 160 x^{4} + \frac{160 x^{3}}{3} + 10 x^{2} + x$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{24} \left(4 x + 1\right)^{6}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{1}{24} \left(4 x + 1\right)^{6}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                    
  /                    
 |                     
 |           5         
 |  (1 + 4*x)  dx = 651
 |                     
/                      
0                      

$$651$$

Численный ответ

651.0

Ответ (Неопределённый)

  /                              
 |                              6
 |          5          (1 + 4*x) 
 | (1 + 4*x)  dx = C + ----------
 |                         24    
/                                

$${{512\,x^6}\over{3}}+256\,x^5+160\,x^4+{{160\,x^3}\over{3}}+10\,x^2 +x$$