Интеграл 2*cos(x)^(2)*sin(x) (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1                    
      /                    
     |                     
     |       2             
     |  2*cos (x)*sin(x) dx
     |                     
    /                      
    0                      
    012sin(x)cos2(x)dx\int\limits_{0}^{1} 2 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx
    Подробное решение
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      2sin(x)cos2(x)dx=2sin(x)cos2(x)dx\int 2 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx

      1. пусть u=cos(x)u = \cos{\left(x \right)}.

        Тогда пусть du=sin(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx и подставим du- du:

        u2du\int u^{2}\, du

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          (u2)du=u2du\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du

          1. Интеграл unu^{n} есть un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} когда n1n \neq -1:

            u2du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

          Таким образом, результат будет: u33- \frac{u^{3}}{3}

        Если сейчас заменить uu ещё в:

        cos3(x)3- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}

      Таким образом, результат будет: 2cos3(x)3- \frac{2 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3}

    2. Добавляем постоянную интегрирования:

      2cos3(x)3+constant- \frac{2 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3}+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    2cos3(x)3+constant- \frac{2 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3}+ \mathrm{constant}

    График
    0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.902-2
    Ответ [src]
             3   
    2   2*cos (1)
    - - ---------
    3       3    
    232cos3(1)3\frac{2}{3} - \frac{2 \cos^{3}{\left(1 \right)}}{3}
    =
    =
             3   
    2   2*cos (1)
    - - ---------
    3       3    
    232cos3(1)3\frac{2}{3} - \frac{2 \cos^{3}{\left(1 \right)}}{3}
    Численный ответ [src]
    0.561514263166004
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                                   
     |                                3   
     |      2                    2*cos (x)
     | 2*cos (x)*sin(x) dx = C - ---------
     |                               3    
    /                                     
    2sin(x)cos2(x)dx=C2cos3(x)3\int 2 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx = C - \frac{2 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3}
    График
    Интеграл 2*cos(x)^(2)*sin(x) (dx) /media/krcore-image-pods/hash/indefinite/2/45/613e949507dbb7e6646b89c7f273b.png