Интеграл 5*sin(2*x) (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1              
      /              
     |               
     |  5*sin(2*x) dx
     |               
    /                
    0                
    015sin(2x)dx\int\limits_{0}^{1} 5 \sin{\left(2 x \right)}\, dx
    Подробное решение
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      5sin(2x)dx=5sin(2x)dx\int 5 \sin{\left(2 x \right)}\, dx = 5 \int \sin{\left(2 x \right)}\, dx

      1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

        Метод #1

        1. пусть u=2xu = 2 x.

          Тогда пусть du=2dxdu = 2 dx и подставим du2\frac{du}{2}:

          sin(u)4du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{4}\, du

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            sin(u)2du=sin(u)du2\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}

            1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

              sin(u)du=cos(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Таким образом, результат будет: cos(u)2- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}

          Если сейчас заменить uu ещё в:

          cos(2x)2- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}

        Метод #2

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          2sin(x)cos(x)dx=2sin(x)cos(x)dx\int 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

          1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

            Метод #1

            1. пусть u=cos(x)u = \cos{\left(x \right)}.

              Тогда пусть du=sin(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx и подставим du- du:

              udu\int u\, du

              1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                (u)du=udu\int \left(- u\right)\, du = - \int u\, du

                1. Интеграл unu^{n} есть un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} когда n1n \neq -1:

                  udu=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

                Таким образом, результат будет: u22- \frac{u^{2}}{2}

              Если сейчас заменить uu ещё в:

              cos2(x)2- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}

            Метод #2

            1. пусть u=sin(x)u = \sin{\left(x \right)}.

              Тогда пусть du=cos(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx и подставим dudu:

              udu\int u\, du

              1. Интеграл unu^{n} есть un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} когда n1n \neq -1:

                udu=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

              Если сейчас заменить uu ещё в:

              sin2(x)2\frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{2}

          Таким образом, результат будет: cos2(x)- \cos^{2}{\left(x \right)}

      Таким образом, результат будет: 5cos(2x)2- \frac{5 \cos{\left(2 x \right)}}{2}

    2. Добавляем постоянную интегрирования:

      5cos(2x)2+constant- \frac{5 \cos{\left(2 x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    5cos(2x)2+constant- \frac{5 \cos{\left(2 x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

    График
    0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-1010
    Ответ [src]
    5   5*cos(2)
    - - --------
    2      2    
    525cos(2)2\frac{5}{2} - \frac{5 \cos{\left(2 \right)}}{2}
    =
    =
    5   5*cos(2)
    - - --------
    2      2    
    525cos(2)2\frac{5}{2} - \frac{5 \cos{\left(2 \right)}}{2}
    Численный ответ [src]
    3.54036709136786
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                              
     |                     5*cos(2*x)
     | 5*sin(2*x) dx = C - ----------
     |                         2     
    /                                
    5sin(2x)dx=C5cos(2x)2\int 5 \sin{\left(2 x \right)}\, dx = C - \frac{5 \cos{\left(2 x \right)}}{2}
    График
    Интеграл 5*sin(2*x) (dx) /media/krcore-image-pods/hash/indefinite/a/35/806f2598082d21d62aca8b9929dcc.png