Интеграл x*log(x-2) (dx)

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Ввести:

{ кусочно-заданную функцию можно здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1                
      /                
     |                 
     |  x*log(x - 2) dx
     |                 
    /                  
    0                  
    $$\int_{0}^{1} x \log{\left (x - 2 \right )}\, dx$$
    Подробное решение
    1. Используем интегрирование по частям:

      пусть и пусть dx.

      Затем dx.

      Чтобы найти :

      1. Интеграл есть :

      Теперь решаем под-интеграл.

    2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

      2. Интегрируем почленно:

        1. Интеграл есть :

        1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          1. пусть .

            Тогда пусть и подставим :

            1. Интеграл есть .

            Если сейчас заменить ещё в:

          Таким образом, результат будет:

        Результат есть:

      Таким образом, результат будет:

    3. Теперь упростить:

    4. Добавляем постоянную интегрирования:


    Ответ:

    График
    Ответ [src]
      1                                        
      /                                        
     |                      5              pi*I
     |  x*log(x - 2) dx = - - + 2*log(2) + ----
     |                      4               2  
    /                                          
    0                                          
    $$-{{6\,\log \left(-1\right)-7}\over{4}}+2\,\log \left(-2\right)-3$$
    Численный ответ [src]
    (0.136294361119891 + 1.5707963267949j)
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                                           2    2           
     |                                           x    x *log(x - 2)
     | x*log(x - 2) dx = C - x - 2*log(-2 + x) - -- + -------------
     |                                           4          2      
    /                                                              
    $${{\log \left(x-2\right)\,x^2}\over{2}}-{{{{x^2+4\,x}\over{2}}+4\, \log \left(x-2\right)}\over{2}}$$