Интеграл e^x*sqrt(1-e^(2*x)) (dx)

Вы ввели

  1                    
  /                    
 |                     
 |        __________   
 |   x   /      2*x    
 |  E *\/  1 - E     dx
 |                     
/                      
0                      

$$\int_{0}^{1} e^{x} \sqrt{- e^{2 x} + 1}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = e^{x}$.

      Тогда пусть $du = e^{x} dx$ и подставим $du$:

      $\int \sqrt{- u^{2} + 1}\, du$

      TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=sin(_theta), rewritten=cos(_theta)**2, substep=RewriteRule(rewritten=cos(2*_theta)/2 + 1/2, substep=AddRule(substeps=[ConstantTimesRule(constant=1/2, other=cos(2*_theta), substep=URule(u_var=_u, u_func=2*_theta, constant=1/2, substep=ConstantTimesRule(constant=1/2, other=cos(_u), substep=TrigRule(func='cos', arg=_u, context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(2*_theta), symbol=_theta), context=cos(2*_theta)/2, symbol=_theta), ConstantRule(constant=1/2, context=1/2, symbol=_theta)], context=cos(2*_theta)/2 + 1/2, symbol=_theta), context=cos(_theta)**2, symbol=_theta), restriction=And(u < 1, u > -1), context=sqrt(-u**2 + 1), symbol=u)

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\begin{cases} \frac{e^{x}}{2} \sqrt{- e^{2 x} + 1} + \frac{1}{2} \operatorname{asin}{\left (e^{x} \right )} & \text{for}\: e^{x} > -1 \wedge e^{x} < 1 \end{cases}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $e^{x} \sqrt{- e^{2 x} + 1} = \sqrt{- e^{2 x} + 1} e^{x}$

   2. пусть $u = e^{x}$.

      Тогда пусть $du = e^{x} dx$ и подставим $du$:

      $\int \sqrt{- u^{2} + 1}\, du$

      TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=sin(_theta), rewritten=cos(_theta)**2, substep=RewriteRule(rewritten=cos(2*_theta)/2 + 1/2, substep=AddRule(substeps=[ConstantTimesRule(constant=1/2, other=cos(2*_theta), substep=URule(u_var=_u, u_func=2*_theta, constant=1/2, substep=ConstantTimesRule(constant=1/2, other=cos(_u), substep=TrigRule(func='cos', arg=_u, context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(2*_theta), symbol=_theta), context=cos(2*_theta)/2, symbol=_theta), ConstantRule(constant=1/2, context=1/2, symbol=_theta)], context=cos(2*_theta)/2 + 1/2, symbol=_theta), context=cos(_theta)**2, symbol=_theta), restriction=And(u < 1, u > -1), context=sqrt(-u**2 + 1), symbol=u)

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\begin{cases} \frac{e^{x}}{2} \sqrt{- e^{2 x} + 1} + \frac{1}{2} \operatorname{asin}{\left (e^{x} \right )} & \text{for}\: e^{x} > -1 \wedge e^{x} < 1 \end{cases}$

2. Теперь упростить:

   $\begin{cases} \frac{e^{x}}{2} \sqrt{- e^{2 x} + 1} + \frac{1}{2} \operatorname{asin}{\left (e^{x} \right )} & \text{for}\: e^{x} > -1 \wedge e^{x} < 1 \end{cases}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\begin{cases} \frac{e^{x}}{2} \sqrt{- e^{2 x} + 1} + \frac{1}{2} \operatorname{asin}{\left (e^{x} \right )} & \text{for}\: e^{x} > -1 \wedge e^{x} < 1 \end{cases}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\begin{cases} \frac{e^{x}}{2} \sqrt{- e^{2 x} + 1} + \frac{1}{2} \operatorname{asin}{\left (e^{x} \right )} & \text{for}\: e^{x} > -1 \wedge e^{x} < 1 \end{cases}+ \mathrm{constant}$

Численный ответ

(0.0 + 2.60671648277426j)

Ответ (Неопределённый)

  /                                                                                  
 |                                                                                   
 |       __________          //              __________                             \
 |  x   /      2*x           ||    / x\     /      2*x   x                          |
 | E *\/  1 - E     dx = C + | -1, E  < 1/|
/                            \\   2              2                                  /

$${{E^{x}\,\sqrt{1-E^{2\,x}}}\over{2\,\log E}}+{{\arcsin E^{x}}\over{ 2\,\log E}}$$