Интеграл cos(sqrt(x))/sqrt(x) (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1              
      /              
     |               
     |     /  ___\   
     |  cos\\/ x /   
     |  ---------- dx
     |      ___      
     |    \/ x       
     |               
    /                
    0                
    01cos(x)xdx\int\limits_{0}^{1} \frac{\cos{\left(\sqrt{x} \right)}}{\sqrt{x}}\, dx
    Подробное решение
    1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть u=xu = \sqrt{x}.

        Тогда пусть du=dx2xdu = \frac{dx}{2 \sqrt{x}} и подставим 2du2 du:

        cos(u)du\int \cos{\left (u \right )}\, du

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          cos(u)du=2cos(u)du\int \cos{\left (u \right )}\, du = 2 \int \cos{\left (u \right )}\, du

          1. Интеграл от косинуса есть синус:

            cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}

          Таким образом, результат будет: 2sin(u)2 \sin{\left (u \right )}

        Если сейчас заменить uu ещё в:

        2sin(x)2 \sin{\left (\sqrt{x} \right )}

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

        1xcos(x)=1xcos(x)\frac{1}{\sqrt{x}} \cos{\left (\sqrt{x} \right )} = \frac{1}{\sqrt{x}} \cos{\left (\sqrt{x} \right )}

      2. пусть u=xu = \sqrt{x}.

        Тогда пусть du=dx2xdu = \frac{dx}{2 \sqrt{x}} и подставим 2du2 du:

        cos(u)du\int \cos{\left (u \right )}\, du

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          cos(u)du=2cos(u)du\int \cos{\left (u \right )}\, du = 2 \int \cos{\left (u \right )}\, du

          1. Интеграл от косинуса есть синус:

            cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}

          Таким образом, результат будет: 2sin(u)2 \sin{\left (u \right )}

        Если сейчас заменить uu ещё в:

        2sin(x)2 \sin{\left (\sqrt{x} \right )}

    2. Добавляем постоянную интегрирования:

      2sin(x)+constant2 \sin{\left (\sqrt{x} \right )}+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    2sin(x)+constant2 \sin{\left (\sqrt{x} \right )}+ \mathrm{constant}

    График
    0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.900100
    Ответ [src]
    2*sin(1)
    2sin(1)2 \sin{\left(1 \right)}
    =
    =
    2*sin(1)
    2sin(1)2 \sin{\left(1 \right)}
    Численный ответ [src]
    1.68294196908521
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                                
     |                                 
     |    /  ___\                      
     | cos\\/ x /               /  ___\
     | ---------- dx = C + 2*sin\\/ x /
     |     ___                         
     |   \/ x                          
     |                                 
    /                                  
    cos(x)xdx=C+2sin(x)\int \frac{\cos{\left(\sqrt{x} \right)}}{\sqrt{x}}\, dx = C + 2 \sin{\left(\sqrt{x} \right)}
    График
    Интеграл cos(sqrt(x))/sqrt(x) (dx) /media/krcore-image-pods/hash/indefinite/6/b2/40d480fbef54962f2652283a9c491.png