Интеграл cos(sqrt(x))/sqrt(x) (dx)

Вы ввели

  1              
  /              
 |               
 |     /  ___\   
 |  cos\\/ x /   
 |  ---------- dx
 |      ___      
 |    \/ x       
 |               
/                
0                

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} \cos{\left (\sqrt{x} \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = \sqrt{x}$.

      Тогда пусть $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ и подставим $2 du$:

      $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \cos{\left (u \right )}\, du = 2 \int \cos{\left (u \right )}\, du$

         1. Интеграл от косинуса есть синус:

            $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

         Таким образом, результат будет: $2 \sin{\left (u \right )}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $2 \sin{\left (\sqrt{x} \right )}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{1}{\sqrt{x}} \cos{\left (\sqrt{x} \right )} = \frac{1}{\sqrt{x}} \cos{\left (\sqrt{x} \right )}$

   2. пусть $u = \sqrt{x}$.

      Тогда пусть $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ и подставим $2 du$:

      $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \cos{\left (u \right )}\, du = 2 \int \cos{\left (u \right )}\, du$

         1. Интеграл от косинуса есть синус:

            $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

         Таким образом, результат будет: $2 \sin{\left (u \right )}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $2 \sin{\left (\sqrt{x} \right )}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $2 \sin{\left (\sqrt{x} \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$2 \sin{\left (\sqrt{x} \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                         
  /                         
 |                          
 |     /  ___\              
 |  cos\\/ x /              
 |  ---------- dx = 2*sin(1)
 |      ___                 
 |    \/ x                  
 |                          
/                           
0                           

$$2\,\sin 1$$

Численный ответ

1.68294196908521

Ответ (Неопределённый)

  /                                
 |                                 
 |    /  ___\                      
 | cos\\/ x /               /  ___\
 | ---------- dx = C + 2*sin\\/ x /
 |     ___                         
 |   \/ x                          
 |                                 
/                                  

$$2\,\sin \sqrt{x}$$

Упростить