Интеграл x/(4+x^2) (dx)

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

    Решение

    Вы ввели
    [LaTeX]
      1          
      /          
     |           
     |    x      
     |  ------ dx
     |       2   
     |  4 + x    
     |           
    /            
    0            
    $$\int_{0}^{1} \frac{x}{x^{2} + 4}\, dx$$
    Подробное решение
    [LaTeX]
    Дан интеграл:
      /         
     |          
     |   x      
     | ------ dx
     |      2   
     | 4 + x    
     |          
    /           
    Перепишем подинтегральную функцию
             /    2*x     \             
             |------------|             
             | 2          |             
      x      \x  + 0*x + 4/       0     
    ------ = -------------- + ----------
         2         2               2    
    4 + x                     /-x \     
                              |---|  + 1
                              \ 2 /     
    или
      /           
     |            
     |   x        
     | ------ dx  
     |      2    =
     | 4 + x      
     |            
    /             
      
      /               
     |                
     |     2*x        
     | ------------ dx
     |  2             
     | x  + 0*x + 4   
     |                
    /                 
    ------------------
            2         
    В интеграле
      /               
     |                
     |     2*x        
     | ------------ dx
     |  2             
     | x  + 0*x + 4   
     |                
    /                 
    ------------------
            2         
    сделаем замену
         2
    u = x 
    тогда
    интеграл =
      /                     
     |                      
     |   1                  
     | ----- du             
     | 4 + u                
     |                      
    /             log(4 + u)
    ----------- = ----------
         2            2     
    делаем обратную замену
      /                             
     |                              
     |     2*x                      
     | ------------ dx              
     |  2                           
     | x  + 0*x + 4                 
     |                      /     2\
    /                    log\4 + x /
    ------------------ = -----------
            2                 2     
    В интеграле
    0
    сделаем замену
        -x 
    v = ---
         2 
    тогда
    интеграл =
    True
    делаем обратную замену
    True
    Решением будет:
           /     2\
        log\4 + x /
    C + -----------
             2     
    График
    [LaTeX]
    Ответ
    [LaTeX]
      1                            
      /                            
     |                             
     |    x         log(5)   log(4)
     |  ------ dx = ------ - ------
     |       2        2        2   
     |  4 + x                      
     |                             
    /                              
    0                              
    $${{\log 5}\over{2}}-{{\log 4}\over{2}}$$
    Численный ответ
    [LaTeX]
    0.111571775657105
    Ответ (Неопределённый)
    [LaTeX]
      /                           
     |                    /     2\
     |   x             log\4 + x /
     | ------ dx = C + -----------
     |      2               2     
     | 4 + x                      
     |                            
    /                             
    $${{\log \left(x^2+4\right)}\over{2}}$$