Интеграл (5*x+2)*cos(3*x) (dx)

Вы ввели

  1                      
  /                      
 |                       
 |  (5*x + 2)*cos(3*x) dx
 |                       
/                        
0                        

$$\int_{0}^{1} \left(5 x + 2\right) \cos{\left (3 x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left (x \right )} = 5 x + 2$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = \cos{\left (3 x \right )}$ dx.

      Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = 5$ dx.

      Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

      1. пусть $u = 3 x$.

         Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$:

         $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{3} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

            1. Интеграл от косинуса есть синус:

               $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{1}{3} \sin{\left (u \right )}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{1}{3} \sin{\left (3 x \right )}$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{5}{3} \sin{\left (3 x \right )}\, dx = \frac{5}{3} \int \sin{\left (3 x \right )}\, dx$

      1. пусть $u = 3 x$.

         Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$:

         $\int \sin{\left (u \right )}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \sin{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{3} \int \sin{\left (u \right )}\, du$

            1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

               $\int \sin{\left (u \right )}\, du = - \cos{\left (u \right )}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{3} \cos{\left (u \right )}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{1}{3} \cos{\left (3 x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{5}{9} \cos{\left (3 x \right )}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(5 x + 2\right) \cos{\left (3 x \right )} = 5 x \cos{\left (3 x \right )} + 2 \cos{\left (3 x \right )}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 5 x \cos{\left (3 x \right )}\, dx = 5 \int x \cos{\left (3 x \right )}\, dx$

         1. Используем интегрирование по частям:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            пусть $u{\left (x \right )} = x$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = \cos{\left (3 x \right )}$ dx.

            Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = 1$ dx.

            Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

            1. пусть $u = 3 x$.

               Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$:

               $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{3} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

                  1. Интеграл от косинуса есть синус:

                     $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

                  Таким образом, результат будет: $\frac{1}{3} \sin{\left (u \right )}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\frac{1}{3} \sin{\left (3 x \right )}$

            Теперь решаем под-интеграл.

         2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{3} \sin{\left (3 x \right )}\, dx = \frac{1}{3} \int \sin{\left (3 x \right )}\, dx$

            1. пусть $u = 3 x$.

               Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$:

               $\int \sin{\left (u \right )}\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \sin{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{3} \int \sin{\left (u \right )}\, du$

                  1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

                     $\int \sin{\left (u \right )}\, du = - \cos{\left (u \right )}$

                  Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{3} \cos{\left (u \right )}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $- \frac{1}{3} \cos{\left (3 x \right )}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{9} \cos{\left (3 x \right )}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{5 x}{3} \sin{\left (3 x \right )} + \frac{5}{9} \cos{\left (3 x \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 2 \cos{\left (3 x \right )}\, dx = 2 \int \cos{\left (3 x \right )}\, dx$

         1. пусть $u = 3 x$.

            Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$:

            $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{3} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. Интеграл от косинуса есть синус:

                  $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{1}{3} \sin{\left (u \right )}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{1}{3} \sin{\left (3 x \right )}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{2}{3} \sin{\left (3 x \right )}$

      Результат есть: $\frac{5 x}{3} \sin{\left (3 x \right )} + \frac{2}{3} \sin{\left (3 x \right )} + \frac{5}{9} \cos{\left (3 x \right )}$

2. Теперь упростить:

   $\frac{1}{9} \left(15 x + 6\right) \sin{\left (3 x \right )} + \frac{5}{9} \cos{\left (3 x \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{9} \left(15 x + 6\right) \sin{\left (3 x \right )} + \frac{5}{9} \cos{\left (3 x \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{1}{9} \left(15 x + 6\right) \sin{\left (3 x \right )} + \frac{5}{9} \cos{\left (3 x \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                                  
  /                                                  
 |                            5   5*cos(3)   7*sin(3)
 |  (5*x + 2)*cos(3*x) dx = - - + -------- + --------
 |                            9      9          3    
/                                                    
0                                                    

$${{21\,\sin 3+5\,\cos 3}\over{9}}-{{5}\over{9}}$$

Численный ответ

-0.776271368193891

Ответ (Неопределённый)

  /                                                           
 |                             5*cos(3*x)   (2 + 5*x)*sin(3*x)
 | (5*x + 2)*cos(3*x) dx = C + ---------- + ------------------
 |                                 9                3         
/                                                             

$${{{{5\,\left(3\,x\,\sin \left(3\,x\right)+\cos \left(3\,x\right) \right)}\over{3}}+2\,\sin \left(3\,x\right)}\over{3}}$$