Интеграл x*log(x^2-1) (dx)

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

    Решение

    Вы ввели
    [LaTeX]
      1                 
      /                 
     |                  
     |       / 2    \   
     |  x*log\x  - 1/ dx
     |                  
    /                   
    0                   
    $$\int_{0}^{1} x \log{\left (x^{2} - 1 \right )}\, dx$$
    Подробное решение
    [LaTeX]
    1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть .

        Тогда пусть и подставим :

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          1. Используем интегрирование по частям:

            пусть и пусть dx.

            Затем dx.

            Чтобы найти :

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            Теперь решаем под-интеграл.

          2. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

          Таким образом, результат будет:

        Если сейчас заменить ещё в:

      Метод #2

      1. Используем интегрирование по частям:

        пусть и пусть dx.

        Затем dx.

        Чтобы найти :

        1. Интеграл есть :

        Теперь решаем под-интеграл.

      2. Перепишите подынтегральное выражение:

      3. Интегрируем почленно:

        1. Интеграл есть :

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          1. пусть .

            Тогда пусть и подставим :

            1. Интеграл есть .

            Если сейчас заменить ещё в:

          Таким образом, результат будет:

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          1. пусть .

            Тогда пусть и подставим :

            1. Интеграл есть .

            Если сейчас заменить ещё в:

          Таким образом, результат будет:

        Результат есть:

    2. Теперь упростить:

    3. Добавляем постоянную интегрирования:


    Ответ:

    График
    [LaTeX]
    Ответ
    [LaTeX]
      1                              
      /                              
     |                               
     |       / 2    \        1   pi*I
     |  x*log\x  - 1/ dx = - - + ----
     |                       2    2  
    /                                
    0                                
    $${{\log \left(-1\right)-1}\over{2}}$$
    Численный ответ
    [LaTeX]
    (-0.5 + 1.5707963267949j)
    Ответ (Неопределённый)
    [LaTeX]
      /                                                    
     |                             2   / 2    \    / 2    \
     |      / 2    \      1       x    \x  - 1/*log\x  - 1/
     | x*log\x  - 1/ dx = - + C - -- + --------------------
     |                    2       2             2          
    /                                                      
    $${{\left(x^2-1\right)\,\log \left(x^2-1\right)-x^2+1}\over{2}}$$