Интеграл x*log(x^2-1) (dx)

  1                 
  /                 
 |                  
 |       / 2    \   
 |  x*log\x  - 1/ dx
 |                  
/                   
0                   

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = x^{2} - 1$.

      Тогда пусть $du = 2 x dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

      $\int \log{\left (u \right )}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \log{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{2} \int \log{\left (u \right )}\, du$

         1. Используем интегрирование по частям:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            пусть $u{\left (u \right )} = \log{\left (u \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (u \right )} = 1$ dx.

            Затем $\operatorname{du}{\left (u \right )} = \frac{1}{u}$ dx.

            Чтобы найти $v{\left (u \right )}$:

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int 1\, du = u$

            Теперь решаем под-интеграл.

         2. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 1\, du = u$

         Таким образом, результат будет: $\frac{u}{2} \log{\left (u \right )} - \frac{u}{2}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \left(x^{2} - 1\right) \log{\left (x^{2} - 1 \right )} + \frac{1}{2}$

   Метод #2

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left (x \right )} = \log{\left (x^{2} - 1 \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = x$ dx.

      Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{2 x}{x^{2} - 1}$ dx.

      Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x^{3}}{x^{2} - 1} = x + \frac{1}{2 x + 2} + \frac{1}{2 x - 2}$

   3. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{2 x + 2}\, dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x + 1}\, dx$

         1. пусть $u = x + 1$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left (x + 1 \right )}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \log{\left (x + 1 \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{2 x - 2}\, dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x - 1}\, dx$

         1. пусть $u = x - 1$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left (x - 1 \right )}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \log{\left (x - 1 \right )}$

      Результат есть: $\frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \log{\left (x - 1 \right )} + \frac{1}{2} \log{\left (x + 1 \right )}$

2. Теперь упростить:

   $- \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \left(x^{2} - 1\right) \log{\left (x^{2} - 1 \right )} + \frac{1}{2}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \left(x^{2} - 1\right) \log{\left (x^{2} - 1 \right )} + \frac{1}{2}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$- \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \left(x^{2} - 1\right) \log{\left (x^{2} - 1 \right )} + \frac{1}{2}+ \mathrm{constant}$

  1                              
  /                              
 |                               
 |       / 2    \        1   pi*I
 |  x*log\x  - 1/ dx = - - + ----
 |                       2    2  
/                                
0                                

(-0.5 + 1.5707963267949j)

  /                                                    
 |                             2   / 2    \    / 2    \
 |      / 2    \      1       x    \x  - 1/*log\x  - 1/
 | x*log\x  - 1/ dx = - + C - -- + --------------------
 |                    2       2             2          
/