Интеграл x*log(x^2-1) (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1                 
      /                 
     |                  
     |       / 2    \   
     |  x*log\x  - 1/ dx
     |                  
    /                   
    0                   
    01xlog(x21)dx\int_{0}^{1} x \log{\left (x^{2} - 1 \right )}\, dx
    Подробное решение
    1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть u=x21u = x^{2} - 1.

        Тогда пусть du=2xdxdu = 2 x dx и подставим du2\frac{du}{2}:

        log(u)du\int \log{\left (u \right )}\, du

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          log(u)du=12log(u)du\int \log{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{2} \int \log{\left (u \right )}\, du

          1. Используем интегрирование по частям:

            udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            пусть u(u)=log(u)u{\left (u \right )} = \log{\left (u \right )} и пусть dv(u)=1\operatorname{dv}{\left (u \right )} = 1 dx.

            Затем du(u)=1u\operatorname{du}{\left (u \right )} = \frac{1}{u} dx.

            Чтобы найти v(u)v{\left (u \right )}:

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

              1du=u\int 1\, du = u

            Теперь решаем под-интеграл.

          2. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            1du=u\int 1\, du = u

          Таким образом, результат будет: u2log(u)u2\frac{u}{2} \log{\left (u \right )} - \frac{u}{2}

        Если сейчас заменить uu ещё в:

        x22+12(x21)log(x21)+12- \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \left(x^{2} - 1\right) \log{\left (x^{2} - 1 \right )} + \frac{1}{2}

      Метод #2

      1. Используем интегрирование по частям:

        udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        пусть u(x)=log(x21)u{\left (x \right )} = \log{\left (x^{2} - 1 \right )} и пусть dv(x)=x\operatorname{dv}{\left (x \right )} = x dx.

        Затем du(x)=2xx21\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{2 x}{x^{2} - 1} dx.

        Чтобы найти v(x)v{\left (x \right )}:

        1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1}:

          xdx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

        Теперь решаем под-интеграл.

      2. Перепишите подынтегральное выражение:

        x3x21=x+12x+2+12x2\frac{x^{3}}{x^{2} - 1} = x + \frac{1}{2 x + 2} + \frac{1}{2 x - 2}

      3. Интегрируем почленно:

        1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1}:

          xdx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          12x+2dx=121x+1dx\int \frac{1}{2 x + 2}\, dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x + 1}\, dx

          1. пусть u=x+1u = x + 1.

            Тогда пусть du=dxdu = dx и подставим dudu:

            1udu\int \frac{1}{u}\, du

            1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log(u)\log{\left (u \right )}.

            Если сейчас заменить uu ещё в:

            log(x+1)\log{\left (x + 1 \right )}

          Таким образом, результат будет: 12log(x+1)\frac{1}{2} \log{\left (x + 1 \right )}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          12x2dx=121x1dx\int \frac{1}{2 x - 2}\, dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x - 1}\, dx

          1. пусть u=x1u = x - 1.

            Тогда пусть du=dxdu = dx и подставим dudu:

            1udu\int \frac{1}{u}\, du

            1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log(u)\log{\left (u \right )}.

            Если сейчас заменить uu ещё в:

            log(x1)\log{\left (x - 1 \right )}

          Таким образом, результат будет: 12log(x1)\frac{1}{2} \log{\left (x - 1 \right )}

        Результат есть: x22+12log(x1)+12log(x+1)\frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \log{\left (x - 1 \right )} + \frac{1}{2} \log{\left (x + 1 \right )}

    2. Теперь упростить:

      x22+12(x21)log(x21)+12- \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \left(x^{2} - 1\right) \log{\left (x^{2} - 1 \right )} + \frac{1}{2}

    3. Добавляем постоянную интегрирования:

      x22+12(x21)log(x21)+12+constant- \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \left(x^{2} - 1\right) \log{\left (x^{2} - 1 \right )} + \frac{1}{2}+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    x22+12(x21)log(x21)+12+constant- \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \left(x^{2} - 1\right) \log{\left (x^{2} - 1 \right )} + \frac{1}{2}+ \mathrm{constant}

    График
    02468-8-6-4-2-1010-250250
    Ответ [src]
      1                              
      /                              
     |                               
     |       / 2    \        1   pi*I
     |  x*log\x  - 1/ dx = - - + ----
     |                       2    2  
    /                                
    0                                
    log(1)12{{\log \left(-1\right)-1}\over{2}}
    Численный ответ [src]
    (-0.5 + 1.5707963267949j)
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                                                    
     |                             2   / 2    \    / 2    \
     |      / 2    \      1       x    \x  - 1/*log\x  - 1/
     | x*log\x  - 1/ dx = - + C - -- + --------------------
     |                    2       2             2          
    /                                                      
    (x21)log(x21)x2+12{{\left(x^2-1\right)\,\log \left(x^2-1\right)-x^2+1}\over{2}}