Интеграл x/(sqrt(5-4*x^2)) (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1                 
      /                 
     |                  
     |        x         
     |  ------------- dx
     |     __________   
     |    /        2    
     |  \/  5 - 4*x     
     |                  
    /                   
    0                   
    01x54x2dx\int\limits_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{5 - 4 x^{2}}}\, dx
    Подробное решение
    1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть u=4x2+5u = \sqrt{- 4 x^{2} + 5}.

        Тогда пусть du=4xdx4x2+5du = - \frac{4 x dx}{\sqrt{- 4 x^{2} + 5}} и подставим du4- \frac{du}{4}:

        1du\int 1\, du

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          1du=141du\int 1\, du = - \frac{1}{4} \int 1\, du

          1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            1du=u\int 1\, du = u

          Таким образом, результат будет: u4- \frac{u}{4}

        Если сейчас заменить uu ещё в:

        144x2+5- \frac{1}{4} \sqrt{- 4 x^{2} + 5}

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

        x4x2+5=x4x2+5\frac{x}{\sqrt{- 4 x^{2} + 5}} = \frac{x}{\sqrt{- 4 x^{2} + 5}}

      2. пусть u=4x2+5u = - 4 x^{2} + 5.

        Тогда пусть du=8xdxdu = - 8 x dx и подставим du8- \frac{du}{8}:

        1udu\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          1udu=181udu\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \frac{1}{8} \int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du

          1. Интеграл unu^{n} есть un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1}:

            1udu=2u\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}

          Таким образом, результат будет: u4- \frac{\sqrt{u}}{4}

        Если сейчас заменить uu ещё в:

        144x2+5- \frac{1}{4} \sqrt{- 4 x^{2} + 5}

    2. Теперь упростить:

      144x2+5- \frac{1}{4} \sqrt{- 4 x^{2} + 5}

    3. Добавляем постоянную интегрирования:

      144x2+5+constant- \frac{1}{4} \sqrt{- 4 x^{2} + 5}+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    144x2+5+constant- \frac{1}{4} \sqrt{- 4 x^{2} + 5}+ \mathrm{constant}

    График
    0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.902-2
    Ответ [src]
            ___
      1   \/ 5 
    - - + -----
      4     4  
    14+54- \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4}
    =
    =
            ___
      1   \/ 5 
    - - + -----
      4     4  
    14+54- \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4}
    Численный ответ [src]
    0.309016994374947
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                          __________
     |                          /        2 
     |       x                \/  5 - 4*x  
     | ------------- dx = C - -------------
     |    __________                4      
     |   /        2                        
     | \/  5 - 4*x                         
     |                                     
    /                                      
    x54x2dx=C54x24\int \frac{x}{\sqrt{5 - 4 x^{2}}}\, dx = C - \frac{\sqrt{5 - 4 x^{2}}}{4}
    График
    Интеграл x/(sqrt(5-4*x^2)) (dx) /media/krcore-image-pods/hash/indefinite/7/5f/483d026fc1e73690172b8788fd10a.png