Интеграл x/(sqrt(5-4*x^2)) (dx)

  1                 
  /                 
 |                  
 |        x         
 |  ------------- dx
 |     __________   
 |    /        2    
 |  \/  5 - 4*x     
 |                  
/                   
0                   

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = \sqrt{- 4 x^{2} + 5}$.

      Тогда пусть $du = - \frac{4 x dx}{\sqrt{- 4 x^{2} + 5}}$ и подставим $- \frac{du}{4}$:

      $\int 1\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 1\, du = - \frac{1}{4} \int 1\, du$

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 1\, du = u$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{u}{4}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{1}{4} \sqrt{- 4 x^{2} + 5}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x}{\sqrt{- 4 x^{2} + 5}} = \frac{x}{\sqrt{- 4 x^{2} + 5}}$

   2. пусть $u = - 4 x^{2} + 5$.

      Тогда пусть $du = - 8 x dx$ и подставим $- \frac{du}{8}$:

      $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \frac{1}{8} \int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{\sqrt{u}}{4}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{1}{4} \sqrt{- 4 x^{2} + 5}$

2. Теперь упростить:

   $- \frac{1}{4} \sqrt{- 4 x^{2} + 5}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{1}{4} \sqrt{- 4 x^{2} + 5}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$- \frac{1}{4} \sqrt{- 4 x^{2} + 5}+ \mathrm{constant}$

  1                               
  /                               
 |                             ___
 |        x              1   \/ 5 
 |  ------------- dx = - - + -----
 |     __________        4     4  
 |    /        2                  
 |  \/  5 - 4*x                   
 |                                
/                                 
0                                 

0.309016994374947

  /                          __________
 |                          /        2 
 |       x                \/  5 - 4*x  
 | ------------- dx = C - -------------
 |    __________                4      
 |   /        2                        
 | \/  5 - 4*x                         
 |                                     
/