Интеграл cos(3*x)^(6) (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1             
      /             
     |              
     |     6        
     |  cos (3*x) dx
     |              
    /               
    0               
    01cos6(3x)dx\int\limits_{0}^{1} \cos^{6}{\left(3 x \right)}\, dx
    Подробное решение
    1. Перепишите подынтегральное выражение:

      cos6(3x)=(cos(6x)2+12)3\cos^{6}{\left(3 x \right)} = \left(\frac{\cos{\left(6 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{3}

    2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

        (cos(6x)2+12)3=cos3(6x)8+3cos2(6x)8+3cos(6x)8+18\left(\frac{\cos{\left(6 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{3} = \frac{\cos^{3}{\left(6 x \right)}}{8} + \frac{3 \cos^{2}{\left(6 x \right)}}{8} + \frac{3 \cos{\left(6 x \right)}}{8} + \frac{1}{8}

      2. Интегрируем почленно:

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          cos3(6x)8dx=cos3(6x)dx8\int \frac{\cos^{3}{\left(6 x \right)}}{8}\, dx = \frac{\int \cos^{3}{\left(6 x \right)}\, dx}{8}

          1. Перепишите подынтегральное выражение:

            cos3(6x)=(1sin2(6x))cos(6x)\cos^{3}{\left(6 x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(6 x \right)}\right) \cos{\left(6 x \right)}

          2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

            Метод #1

            1. пусть u=sin(6x)u = \sin{\left(6 x \right)}.

              Тогда пусть du=6cos(6x)dxdu = 6 \cos{\left(6 x \right)} dx и подставим dudu:

              (16u26)du\int \left(\frac{1}{6} - \frac{u^{2}}{6}\right)\, du

              1. Интегрируем почленно:

                1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                  16du=u6\int \frac{1}{6}\, du = \frac{u}{6}

                1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  (u26)du=u2du6\int \left(- \frac{u^{2}}{6}\right)\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{6}

                  1. Интеграл unu^{n} есть un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} когда n1n \neq -1:

                    u2du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

                  Таким образом, результат будет: u318- \frac{u^{3}}{18}

                Результат есть: u318+u6- \frac{u^{3}}{18} + \frac{u}{6}

              Если сейчас заменить uu ещё в:

              sin3(6x)18+sin(6x)6- \frac{\sin^{3}{\left(6 x \right)}}{18} + \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{6}

            Метод #2

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

              (1sin2(6x))cos(6x)=sin2(6x)cos(6x)+cos(6x)\left(1 - \sin^{2}{\left(6 x \right)}\right) \cos{\left(6 x \right)} = - \sin^{2}{\left(6 x \right)} \cos{\left(6 x \right)} + \cos{\left(6 x \right)}

            2. Интегрируем почленно:

              1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                (sin2(6x)cos(6x))dx=sin2(6x)cos(6x)dx\int \left(- \sin^{2}{\left(6 x \right)} \cos{\left(6 x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{2}{\left(6 x \right)} \cos{\left(6 x \right)}\, dx

                1. пусть u=sin(6x)u = \sin{\left(6 x \right)}.

                  Тогда пусть du=6cos(6x)dxdu = 6 \cos{\left(6 x \right)} dx и подставим du6\frac{du}{6}:

                  u236du\int \frac{u^{2}}{36}\, du

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                    u26du=u2du6\int \frac{u^{2}}{6}\, du = \frac{\int u^{2}\, du}{6}

                    1. Интеграл unu^{n} есть un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} когда n1n \neq -1:

                      u2du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

                    Таким образом, результат будет: u318\frac{u^{3}}{18}

                  Если сейчас заменить uu ещё в:

                  sin3(6x)18\frac{\sin^{3}{\left(6 x \right)}}{18}

                Таким образом, результат будет: sin3(6x)18- \frac{\sin^{3}{\left(6 x \right)}}{18}

              1. пусть u=6xu = 6 x.

                Тогда пусть du=6dxdu = 6 dx и подставим du6\frac{du}{6}:

                cos(u)36du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{36}\, du

                1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  cos(u)6du=cos(u)du6\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{6}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{6}

                  1. Интеграл от косинуса есть синус:

                    cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                  Таким образом, результат будет: sin(u)6\frac{\sin{\left(u \right)}}{6}

                Если сейчас заменить uu ещё в:

                sin(6x)6\frac{\sin{\left(6 x \right)}}{6}

              Результат есть: sin3(6x)18+sin(6x)6- \frac{\sin^{3}{\left(6 x \right)}}{18} + \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{6}

            Метод #3

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

              (1sin2(6x))cos(6x)=sin2(6x)cos(6x)+cos(6x)\left(1 - \sin^{2}{\left(6 x \right)}\right) \cos{\left(6 x \right)} = - \sin^{2}{\left(6 x \right)} \cos{\left(6 x \right)} + \cos{\left(6 x \right)}

            2. Интегрируем почленно:

              1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                (sin2(6x)cos(6x))dx=sin2(6x)cos(6x)dx\int \left(- \sin^{2}{\left(6 x \right)} \cos{\left(6 x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{2}{\left(6 x \right)} \cos{\left(6 x \right)}\, dx

                1. пусть u=sin(6x)u = \sin{\left(6 x \right)}.

                  Тогда пусть du=6cos(6x)dxdu = 6 \cos{\left(6 x \right)} dx и подставим du6\frac{du}{6}:

                  u236du\int \frac{u^{2}}{36}\, du

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                    u26du=u2du6\int \frac{u^{2}}{6}\, du = \frac{\int u^{2}\, du}{6}

                    1. Интеграл unu^{n} есть un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} когда n1n \neq -1:

                      u2du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

                    Таким образом, результат будет: u318\frac{u^{3}}{18}

                  Если сейчас заменить uu ещё в:

                  sin3(6x)18\frac{\sin^{3}{\left(6 x \right)}}{18}

                Таким образом, результат будет: sin3(6x)18- \frac{\sin^{3}{\left(6 x \right)}}{18}

              1. пусть u=6xu = 6 x.

                Тогда пусть du=6dxdu = 6 dx и подставим du6\frac{du}{6}:

                cos(u)36du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{36}\, du

                1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  cos(u)6du=cos(u)du6\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{6}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{6}

                  1. Интеграл от косинуса есть синус:

                    cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                  Таким образом, результат будет: sin(u)6\frac{\sin{\left(u \right)}}{6}

                Если сейчас заменить uu ещё в:

                sin(6x)6\frac{\sin{\left(6 x \right)}}{6}

              Результат есть: sin3(6x)18+sin(6x)6- \frac{\sin^{3}{\left(6 x \right)}}{18} + \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{6}

          Таким образом, результат будет: sin3(6x)144+sin(6x)48- \frac{\sin^{3}{\left(6 x \right)}}{144} + \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{48}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          3cos2(6x)8dx=3cos2(6x)dx8\int \frac{3 \cos^{2}{\left(6 x \right)}}{8}\, dx = \frac{3 \int \cos^{2}{\left(6 x \right)}\, dx}{8}

          1. Перепишите подынтегральное выражение:

            cos2(6x)=cos(12x)2+12\cos^{2}{\left(6 x \right)} = \frac{\cos{\left(12 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

          2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              cos(12x)2dx=cos(12x)dx2\int \frac{\cos{\left(12 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(12 x \right)}\, dx}{2}

              1. пусть u=12xu = 12 x.

                Тогда пусть du=12dxdu = 12 dx и подставим du12\frac{du}{12}:

                cos(u)144du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{144}\, du

                1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  cos(u)12du=cos(u)du12\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{12}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{12}

                  1. Интеграл от косинуса есть синус:

                    cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                  Таким образом, результат будет: sin(u)12\frac{\sin{\left(u \right)}}{12}

                Если сейчас заменить uu ещё в:

                sin(12x)12\frac{\sin{\left(12 x \right)}}{12}

              Таким образом, результат будет: sin(12x)24\frac{\sin{\left(12 x \right)}}{24}

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

              12dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

            Результат есть: x2+sin(12x)24\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{24}

          Таким образом, результат будет: 3x16+sin(12x)64\frac{3 x}{16} + \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{64}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          3cos(6x)8dx=3cos(6x)dx8\int \frac{3 \cos{\left(6 x \right)}}{8}\, dx = \frac{3 \int \cos{\left(6 x \right)}\, dx}{8}

          1. пусть u=6xu = 6 x.

            Тогда пусть du=6dxdu = 6 dx и подставим du6\frac{du}{6}:

            cos(u)36du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{36}\, du

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              cos(u)6du=cos(u)du6\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{6}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{6}

              1. Интеграл от косинуса есть синус:

                cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Таким образом, результат будет: sin(u)6\frac{\sin{\left(u \right)}}{6}

            Если сейчас заменить uu ещё в:

            sin(6x)6\frac{\sin{\left(6 x \right)}}{6}

          Таким образом, результат будет: sin(6x)16\frac{\sin{\left(6 x \right)}}{16}

        1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

          18dx=x8\int \frac{1}{8}\, dx = \frac{x}{8}

        Результат есть: 5x16sin3(6x)144+sin(6x)12+sin(12x)64\frac{5 x}{16} - \frac{\sin^{3}{\left(6 x \right)}}{144} + \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{12} + \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{64}

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

        (cos(6x)2+12)3=cos3(6x)8+3cos2(6x)8+3cos(6x)8+18\left(\frac{\cos{\left(6 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{3} = \frac{\cos^{3}{\left(6 x \right)}}{8} + \frac{3 \cos^{2}{\left(6 x \right)}}{8} + \frac{3 \cos{\left(6 x \right)}}{8} + \frac{1}{8}

      2. Интегрируем почленно:

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          cos3(6x)8dx=cos3(6x)dx8\int \frac{\cos^{3}{\left(6 x \right)}}{8}\, dx = \frac{\int \cos^{3}{\left(6 x \right)}\, dx}{8}

          1. Перепишите подынтегральное выражение:

            cos3(6x)=(1sin2(6x))cos(6x)\cos^{3}{\left(6 x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(6 x \right)}\right) \cos{\left(6 x \right)}

          2. пусть u=sin(6x)u = \sin{\left(6 x \right)}.

            Тогда пусть du=6cos(6x)dxdu = 6 \cos{\left(6 x \right)} dx и подставим dudu:

            (16u26)du\int \left(\frac{1}{6} - \frac{u^{2}}{6}\right)\, du

            1. Интегрируем почленно:

              1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                16du=u6\int \frac{1}{6}\, du = \frac{u}{6}

              1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                (u26)du=u2du6\int \left(- \frac{u^{2}}{6}\right)\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{6}

                1. Интеграл unu^{n} есть un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} когда n1n \neq -1:

                  u2du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

                Таким образом, результат будет: u318- \frac{u^{3}}{18}

              Результат есть: u318+u6- \frac{u^{3}}{18} + \frac{u}{6}

            Если сейчас заменить uu ещё в:

            sin3(6x)18+sin(6x)6- \frac{\sin^{3}{\left(6 x \right)}}{18} + \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{6}

          Таким образом, результат будет: sin3(6x)144+sin(6x)48- \frac{\sin^{3}{\left(6 x \right)}}{144} + \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{48}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          3cos2(6x)8dx=3cos2(6x)dx8\int \frac{3 \cos^{2}{\left(6 x \right)}}{8}\, dx = \frac{3 \int \cos^{2}{\left(6 x \right)}\, dx}{8}

          1. Перепишите подынтегральное выражение:

            cos2(6x)=cos(12x)2+12\cos^{2}{\left(6 x \right)} = \frac{\cos{\left(12 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

          2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              cos(12x)2dx=cos(12x)dx2\int \frac{\cos{\left(12 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(12 x \right)}\, dx}{2}

              1. пусть u=12xu = 12 x.

                Тогда пусть du=12dxdu = 12 dx и подставим du12\frac{du}{12}:

                cos(u)144du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{144}\, du

                1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  cos(u)12du=cos(u)du12\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{12}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{12}

                  1. Интеграл от косинуса есть синус:

                    cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                  Таким образом, результат будет: sin(u)12\frac{\sin{\left(u \right)}}{12}

                Если сейчас заменить uu ещё в:

                sin(12x)12\frac{\sin{\left(12 x \right)}}{12}

              Таким образом, результат будет: sin(12x)24\frac{\sin{\left(12 x \right)}}{24}

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

              12dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

            Результат есть: x2+sin(12x)24\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{24}

          Таким образом, результат будет: 3x16+sin(12x)64\frac{3 x}{16} + \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{64}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          3cos(6x)8dx=3cos(6x)dx8\int \frac{3 \cos{\left(6 x \right)}}{8}\, dx = \frac{3 \int \cos{\left(6 x \right)}\, dx}{8}

          1. пусть u=6xu = 6 x.

            Тогда пусть du=6dxdu = 6 dx и подставим du6\frac{du}{6}:

            cos(u)36du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{36}\, du

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              cos(u)6du=cos(u)du6\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{6}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{6}

              1. Интеграл от косинуса есть синус:

                cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Таким образом, результат будет: sin(u)6\frac{\sin{\left(u \right)}}{6}

            Если сейчас заменить uu ещё в:

            sin(6x)6\frac{\sin{\left(6 x \right)}}{6}

          Таким образом, результат будет: sin(6x)16\frac{\sin{\left(6 x \right)}}{16}

        1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

          18dx=x8\int \frac{1}{8}\, dx = \frac{x}{8}

        Результат есть: 5x16sin3(6x)144+sin(6x)12+sin(12x)64\frac{5 x}{16} - \frac{\sin^{3}{\left(6 x \right)}}{144} + \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{12} + \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{64}

    3. Добавляем постоянную интегрирования:

      5x16sin3(6x)144+sin(6x)12+sin(12x)64+constant\frac{5 x}{16} - \frac{\sin^{3}{\left(6 x \right)}}{144} + \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{12} + \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{64}+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    5x16sin3(6x)144+sin(6x)12+sin(12x)64+constant\frac{5 x}{16} - \frac{\sin^{3}{\left(6 x \right)}}{144} + \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{12} + \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{64}+ \mathrm{constant}

    График
    0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.9002
    Ответ [src]
            5                                    3          
    5    cos (3)*sin(3)   5*cos(3)*sin(3)   5*cos (3)*sin(3)
    -- + -------------- + --------------- + ----------------
    16         18                48                72       
    5sin(3)cos(3)48+5sin(3)cos3(3)72+sin(3)cos5(3)18+516\frac{5 \sin{\left(3 \right)} \cos{\left(3 \right)}}{48} + \frac{5 \sin{\left(3 \right)} \cos^{3}{\left(3 \right)}}{72} + \frac{\sin{\left(3 \right)} \cos^{5}{\left(3 \right)}}{18} + \frac{5}{16}
    =
    =
            5                                    3          
    5    cos (3)*sin(3)   5*cos(3)*sin(3)   5*cos (3)*sin(3)
    -- + -------------- + --------------- + ----------------
    16         18                48                72       
    5sin(3)cos(3)48+5sin(3)cos3(3)72+sin(3)cos5(3)18+516\frac{5 \sin{\left(3 \right)} \cos{\left(3 \right)}}{48} + \frac{5 \sin{\left(3 \right)} \cos^{3}{\left(3 \right)}}{72} + \frac{\sin{\left(3 \right)} \cos^{5}{\left(3 \right)}}{18} + \frac{5}{16}
    Численный ответ [src]
    0.280982915056029
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                                                         
     |                       3                                  
     |    6               sin (6*x)   sin(6*x)   sin(12*x)   5*x
     | cos (3*x) dx = C - --------- + -------- + --------- + ---
     |                       144         12          64       16
    /                                                           
    cos6(3x)dx=C+5x16sin3(6x)144+sin(6x)12+sin(12x)64\int \cos^{6}{\left(3 x \right)}\, dx = C + \frac{5 x}{16} - \frac{\sin^{3}{\left(6 x \right)}}{144} + \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{12} + \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{64}
    График
    Интеграл cos(3*x)^(6) (dx) /media/krcore-image-pods/hash/indefinite/3/57/1a6f9fd1b96055f9d34a7fa0701da.png