Решение интегралов/ Определённый интеграл

Интеграл cos(3*x)^(6) (dx)

∫d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

    Решение

    Вы ввели
    [LaTeX]
      1             
  /             
 |              
 |     6        
 |  cos (3*x) dx
 |              
/               
0
    $$\int_{0}^{1} \cos^{6}{\left (3 x \right )}\, dx$$
    Подробное решение
    [LaTeX]

    1. Перепишите подынтегральное выражение:

    2. Перепишите подынтегральное выражение:

    3. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        1. Перепишите подынтегральное выражение:

        2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

          Метод #1

          1. пусть .

            Тогда пусть и подставим :

            1. Интегрируем почленно:

              1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                1. Интеграл есть :

                Таким образом, результат будет:

              1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

              Результат есть:

            Если сейчас заменить ещё в:

          Метод #2

          1. Перепишите подынтегральное выражение:

          2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              1. пусть .

                Тогда пусть и подставим :

                1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  1. Интеграл есть :

                  Таким образом, результат будет:

                Если сейчас заменить ещё в:

              Таким образом, результат будет:

            1. пусть .

              Тогда пусть и подставим :

              1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                1. Интеграл от косинуса есть синус:

                Таким образом, результат будет:

              Если сейчас заменить ещё в:

            Результат есть:

        Таким образом, результат будет:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        1. Перепишите подынтегральное выражение:

        2. Интегрируем почленно:

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            1. пусть .

              Тогда пусть и подставим :

              1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                1. Интеграл от косинуса есть синус:

                Таким образом, результат будет:

              Если сейчас заменить ещё в:

            Таким образом, результат будет:

          1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

          Результат есть:

        Таким образом, результат будет:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        1. пусть .

          Тогда пусть и подставим :

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            1. Интеграл от косинуса есть синус:

            Таким образом, результат будет:

          Если сейчас заменить ещё в:

        Таким образом, результат будет:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      Результат есть:

    4. Теперь упростить:

    5. Добавляем постоянную интегрирования:

    Ответ:

    График
    [LaTeX]
    Ответ
    [LaTeX]
      1                                                                        
  /                                                                        
 |                         5                                    3          
 |     6           5    cos (3)*sin(3)   5*cos(3)*sin(3)   5*cos (3)*sin(3)
 |  cos (3*x) dx = -- + -------------- + --------------- + ----------------
 |                 16         18                48                72       
/                                                                          
0
    $${{9\,\sin 12-4\,\sin ^36+48\,\sin 6+180}\over{576}}$$
    Численный ответ
    [LaTeX]
    0.280982915056029
    Ответ (Неопределённый)
    [LaTeX]
      /                                                         
 |                       3                                  
 |    6               sin (6*x)   sin(6*x)   sin(12*x)   5*x
 | cos (3*x) dx = C - --------- + -------- + --------- + ---
 |                       144         12          64       16
/
    $${{{{3\,\left({{\sin \left(12\,x\right)}\over{2}}+6\,x\right)}\over{ 16}}+{{\sin \left(6\,x\right)-{{\sin ^3\left(6\,x\right)}\over{3}} }\over{8}}+{{3\,\sin \left(6\,x\right)}\over{8}}+{{3\,x}\over{4}} }\over{6}}$$
    Упростить