Интеграл t/(1+t) (dx)

  1         
  /         
 |          
 |    t     
 |  ----- dt
 |  1 + t   
 |          
/           
0           

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\frac{t}{t + 1} = 1 - \frac{1}{t + 1}$

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int 1\, dt = t$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \frac{1}{t + 1}\, dt = - \int \frac{1}{t + 1}\, dt$

      1. пусть $u = t + 1$.

         Тогда пусть $du = dt$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\log{\left (t + 1 \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- \log{\left (t + 1 \right )}$

   Результат есть: $t - \log{\left (t + 1 \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $t - \log{\left (t + 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$t - \log{\left (t + 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

  1                      
  /                      
 |                       
 |    t                  
 |  ----- dt = 1 - log(2)
 |  1 + t                
 |                       
/                        
0                        

0.306852819440055

  /                             
 |                              
 |   t                          
 | ----- dt = C + t - log(1 + t)
 | 1 + t                        
 |                              
/