Интеграл t/(1+t) (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1         
      /         
     |          
     |    t     
     |  ----- dt
     |  1 + t   
     |          
    /           
    0           
    01tt+1dt\int_{0}^{1} \frac{t}{t + 1}\, dt
    Подробное решение
    1. Перепишите подынтегральное выражение:

      tt+1=11t+1\frac{t}{t + 1} = 1 - \frac{1}{t + 1}

    2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

        1dt=t\int 1\, dt = t

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        1t+1dt=1t+1dt\int - \frac{1}{t + 1}\, dt = - \int \frac{1}{t + 1}\, dt

        1. пусть u=t+1u = t + 1.

          Тогда пусть du=dtdu = dt и подставим dudu:

          1udu\int \frac{1}{u}\, du

          1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log(u)\log{\left (u \right )}.

          Если сейчас заменить uu ещё в:

          log(t+1)\log{\left (t + 1 \right )}

        Таким образом, результат будет: log(t+1)- \log{\left (t + 1 \right )}

      Результат есть: tlog(t+1)t - \log{\left (t + 1 \right )}

    3. Добавляем постоянную интегрирования:

      tlog(t+1)+constantt - \log{\left (t + 1 \right )}+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    tlog(t+1)+constantt - \log{\left (t + 1 \right )}+ \mathrm{constant}

    График
    02468-8-6-4-2-1010-2020
    Ответ [src]
      1                      
      /                      
     |                       
     |    t                  
     |  ----- dt = 1 - log(2)
     |  1 + t                
     |                       
    /                        
    0                        
    1log21-\log 2
    Численный ответ [src]
    0.306852819440055
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                             
     |                              
     |   t                          
     | ----- dt = C + t - log(1 + t)
     | 1 + t                        
     |                              
    /                               
    tlog(t+1)t-\log \left(t+1\right)