Интеграл -3/(4*x^2)+9/(2*x)-6 (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1                      
      /                      
     |                       
     |  /   3      9     \   
     |  |- ---- + --- - 6| dx
     |  |     2   2*x    |   
     |  \  4*x           /   
     |                       
    /                        
    0                        
    01314x2+92x6dx\int_{0}^{1} - 3 \frac{1}{4 x^{2}} + \frac{9}{2 x} - 6\, dx
    Подробное решение
    1. Интегрируем почленно:

      1. Интегрируем почленно:

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          314x2dx=314x2dx\int - 3 \frac{1}{4 x^{2}}\, dx = - 3 \int \frac{1}{4 x^{2}}\, dx

          1. Перепишите подынтегральное выражение:

            14x2=14x2\frac{1}{4 x^{2}} = \frac{1}{4 x^{2}}

          2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            14x2dx=141x2dx\int \frac{1}{4 x^{2}}\, dx = \frac{1}{4} \int \frac{1}{x^{2}}\, dx

            1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1}:

              1x2dx=1x\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}

            Таким образом, результат будет: 14x- \frac{1}{4 x}

          Таким образом, результат будет: 34x\frac{3}{4 x}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          92xdx=912xdx\int \frac{9}{2 x}\, dx = 9 \int \frac{1}{2 x}\, dx

          1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

            Метод #1

            1. пусть u=2xu = 2 x.

              Тогда пусть du=2dxdu = 2 dx и подставим du2\frac{du}{2}:

              1udu\int \frac{1}{u}\, du

              1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                1udu=121udu\int \frac{1}{u}\, du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u}\, du

                1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log(u)\log{\left (u \right )}.

                Таким образом, результат будет: 12log(u)\frac{1}{2} \log{\left (u \right )}

              Если сейчас заменить uu ещё в:

              12log(2x)\frac{1}{2} \log{\left (2 x \right )}

            Метод #2

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

              12x=12x\frac{1}{2 x} = \frac{1}{2 x}

            2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              12xdx=121xdx\int \frac{1}{2 x}\, dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x}\, dx

              1. Интеграл 1x\frac{1}{x} есть log(x)\log{\left (x \right )}.

              Таким образом, результат будет: 12log(x)\frac{1}{2} \log{\left (x \right )}

          Таким образом, результат будет: 92log(2x)\frac{9}{2} \log{\left (2 x \right )}

        Результат есть: 92log(2x)+34x\frac{9}{2} \log{\left (2 x \right )} + \frac{3}{4 x}

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

        6dx=6x\int -6\, dx = - 6 x

      Результат есть: 6x+92log(2x)+34x- 6 x + \frac{9}{2} \log{\left (2 x \right )} + \frac{3}{4 x}

    2. Добавляем постоянную интегрирования:

      6x+92log(2x)+34x+constant- 6 x + \frac{9}{2} \log{\left (2 x \right )} + \frac{3}{4 x}+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    6x+92log(2x)+34x+constant- 6 x + \frac{9}{2} \log{\left (2 x \right )} + \frac{3}{4 x}+ \mathrm{constant}

    График
    02468-8-6-4-2-1010-200100
    Ответ [src]
      1                            
      /                            
     |                             
     |  /   3      9     \         
     |  |- ---- + --- - 6| dx = -oo
     |  |     2   2*x    |         
     |  \  4*x           /         
     |                             
    /                              
    0                              
    %a{\it \%a}
    Численный ответ [src]
    -1.03449275846145e+19
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                                                  
     |                                                   
     | /   3      9     \                 3    9*log(2*x)
     | |- ---- + --- - 6| dx = C - 6*x + --- + ----------
     | |     2   2*x    |                4*x       2     
     | \  4*x           /                                
     |                                                   
    /                                                    
    9logx26x+34x{{9\,\log x}\over{2}}-6\,x+{{3}\over{4\,x}}