Интеграл x^3/(x^3-1) (dx)

  1          
  /          
 |           
 |     3     
 |    x      
 |  ------ dx
 |   3       
 |  x  - 1   
 |           
/            
0            

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\frac{x^{3}}{x^{3} - 1} = - \frac{x + 2}{3 x^{2} + 3 x + 3} + 1 + \frac{1}{3 x - 3}$

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \frac{x + 2}{3 x^{2} + 3 x + 3}\, dx = - \frac{1}{3} \int \frac{x + 2}{x^{2} + x + 1}\, dx$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{x + 2}{x^{2} + x + 1} = \frac{x}{x^{2} + x + 1} + \frac{2}{x^{2} + x + 1}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

            Но интеграл

            $\frac{1}{2} \log{\left (x^{2} + x + 1 \right )} - \frac{\sqrt{3}}{3} \operatorname{atan}{\left (\frac{2 x}{3} \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} \right )}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{2}{x^{2} + x + 1}\, dx = 2 \int \frac{1}{x^{2} + x + 1}\, dx$

            1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

               Но интеграл

               $\frac{2 \sqrt{3}}{3} \operatorname{atan}{\left (\frac{2 x}{3} \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} \right )}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{4 \sqrt{3}}{3} \operatorname{atan}{\left (\frac{2 x}{3} \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} \right )}$

         Результат есть: $\frac{1}{2} \log{\left (x^{2} + x + 1 \right )} + \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left (\frac{2 x}{3} \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{6} \log{\left (x^{2} + x + 1 \right )} - \frac{\sqrt{3}}{3} \operatorname{atan}{\left (\frac{2 x}{3} \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} \right )}$

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int 1\, dx = x$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{1}{3 x - 3}\, dx = \frac{1}{3} \int \frac{1}{x - 1}\, dx$

      1. пусть $u = x - 1$.

         Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\log{\left (x - 1 \right )}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{1}{3} \log{\left (x - 1 \right )}$

   Результат есть: $x + \frac{1}{3} \log{\left (x - 1 \right )} - \frac{1}{6} \log{\left (x^{2} + x + 1 \right )} - \frac{\sqrt{3}}{3} \operatorname{atan}{\left (\frac{2 x}{3} \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} \right )}$

3. Теперь упростить:

   $x + \frac{1}{3} \log{\left (x - 1 \right )} - \frac{1}{6} \log{\left (x^{2} + x + 1 \right )} - \frac{\sqrt{3}}{3} \operatorname{atan}{\left (\frac{\sqrt{3}}{3} \left(2 x + 1\right) \right )}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $x + \frac{1}{3} \log{\left (x - 1 \right )} - \frac{1}{6} \log{\left (x^{2} + x + 1 \right )} - \frac{\sqrt{3}}{3} \operatorname{atan}{\left (\frac{\sqrt{3}}{3} \left(2 x + 1\right) \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$x + \frac{1}{3} \log{\left (x - 1 \right )} - \frac{1}{6} \log{\left (x^{2} + x + 1 \right )} - \frac{\sqrt{3}}{3} \operatorname{atan}{\left (\frac{\sqrt{3}}{3} \left(2 x + 1\right) \right )}+ \mathrm{constant}$

  1                       
  /                       
 |                        
 |     3                  
 |    x               pi*I
 |  ------ dx = -oo - ----
 |   3                 3  
 |  x  - 1                
 |                        
/                         
0                         

-14.1823875375555

  /                                                              /  ___         ___\
 |                                                       ___     |\/ 3    2*x*\/ 3 |
 |    3                   /         2\                 \/ 3 *atan|----- + ---------|
 |   x                 log\1 + x + x /   log(-1 + x)             \  3         3    /
 | ------ dx = C + x - --------------- + ----------- - -----------------------------
 |  3                         6               3                      3              
 | x  - 1                                                                           
 |                                                                                  
/