Интеграл (2*x-3)/sqrt(x^2+9) (dx)

Вы ввели

  1               
  /               
 |                
 |    2*x - 3     
 |  ----------- dx
 |     ________   
 |    /  2        
 |  \/  x  + 9    
 |                
/                 
0                 

$$\int_{0}^{1} \frac{2 x - 3}{\sqrt{x^{2} + 9}}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\frac{2 x - 3}{\sqrt{x^{2} + 9}} = \frac{2 x}{\sqrt{x^{2} + 9}} - \frac{3}{\sqrt{x^{2} + 9}}$

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{2 x}{\sqrt{x^{2} + 9}}\, dx = 2 \int \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 9}}\, dx$

      1. пусть $u = x^{2} + 9$.

         Тогда пусть $du = 2 x dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

            Таким образом, результат будет: $\sqrt{u}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\sqrt{x^{2} + 9}$

      Таким образом, результат будет: $2 \sqrt{x^{2} + 9}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \frac{3}{\sqrt{x^{2} + 9}}\, dx = - 3 \int \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 9}}\, dx$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 9}}\, dx = \frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt{\frac{x^{2}}{9} + 1}}\, dx$

         1. пусть $u = \frac{x}{3}$.

            Тогда пусть $du = \frac{dx}{3}$ и подставим $3 du$:

            $\int \frac{3}{\sqrt{u^{2} + 1}}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{3}{\sqrt{u^{2} + 1}}\, dx = 3 \int \frac{1}{\sqrt{u^{2} + 1}}\, dx$

               InverseHyperbolicRule(func=asinh, context=1/sqrt(u**2 + 1), symbol=u)

               Таким образом, результат будет: $3 \operatorname{asinh}{\left (u \right )}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $3 \operatorname{asinh}{\left (\frac{x}{3} \right )}$

         Таким образом, результат будет: $\operatorname{asinh}{\left (\frac{x}{3} \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- 3 \operatorname{asinh}{\left (\frac{x}{3} \right )}$

   Результат есть: $2 \sqrt{x^{2} + 9} - 3 \operatorname{asinh}{\left (\frac{x}{3} \right )}$

3. Теперь упростить:

   $2 \sqrt{x^{2} + 9} - 3 \operatorname{asinh}{\left (\frac{x}{3} \right )}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $2 \sqrt{x^{2} + 9} - 3 \operatorname{asinh}{\left (\frac{x}{3} \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$2 \sqrt{x^{2} + 9} - 3 \operatorname{asinh}{\left (\frac{x}{3} \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                              
  /                                              
 |                                               
 |    2*x - 3                                ____
 |  ----------- dx = -6 - 3*asinh(1/3) + 2*\/ 10 
 |     ________                                  
 |    /  2                                       
 |  \/  x  + 9                                   
 |                                               
/                                                
0                                                

$$-3\,{\rm asinh}\; \left({{1}\over{3}}\right)+2\,\sqrt{10}-6$$

Численный ответ

-0.657795130375017

Ответ (Неопределённый)

  /                                               
 |                                        ________
 |   2*x - 3                   /x\       /  2     
 | ----------- dx = C - 3*asinh|-| + 2*\/  x  + 9 
 |    ________                 \3/                
 |   /  2                                         
 | \/  x  + 9                                     
 |                                                
/                                                 

$$2\,\sqrt{x^2+9}-3\,{\rm asinh}\; \left({{x}\over{3}}\right)$$