Интеграл (x^3)*(log(x)) (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1             
      /             
     |              
     |   3          
     |  x *log(x) dx
     |              
    /               
    0               
    01x3log(x)dx\int\limits_{0}^{1} x^{3} \log{\left(x \right)}\, dx
    Подробное решение
    1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть u=log(x)u = \log{\left(x \right)}.

        Тогда пусть du=dxxdu = \frac{dx}{x} и подставим dudu:

        ue4udu\int u e^{4 u}\, du

        1. Используем интегрирование по частям:

          udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          пусть u(u)=uu{\left(u \right)} = u и пусть dv(u)=e4u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{4 u}.

          Затем du(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

          Чтобы найти v(u)v{\left(u \right)}:

          1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

            Метод #1

            1. пусть u=4uu = 4 u.

              Тогда пусть du=4dudu = 4 du и подставим du4\frac{du}{4}:

              eu16du\int \frac{e^{u}}{16}\, du

              1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                eu4du=eudu4\int \frac{e^{u}}{4}\, du = \frac{\int e^{u}\, du}{4}

                1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

                  eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Таким образом, результат будет: eu4\frac{e^{u}}{4}

              Если сейчас заменить uu ещё в:

              e4u4\frac{e^{4 u}}{4}

            Метод #2

            1. пусть u=e4uu = e^{4 u}.

              Тогда пусть du=4e4ududu = 4 e^{4 u} du и подставим du4\frac{du}{4}:

              116du\int \frac{1}{16}\, du

              1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                14du=1du4\int \frac{1}{4}\, du = \frac{\int 1\, du}{4}

                1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                  1du=u\int 1\, du = u

                Таким образом, результат будет: u4\frac{u}{4}

              Если сейчас заменить uu ещё в:

              e4u4\frac{e^{4 u}}{4}

          Теперь решаем под-интеграл.

        2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          e4u4du=e4udu4\int \frac{e^{4 u}}{4}\, du = \frac{\int e^{4 u}\, du}{4}

          1. пусть u=4uu = 4 u.

            Тогда пусть du=4dudu = 4 du и подставим du4\frac{du}{4}:

            eu16du\int \frac{e^{u}}{16}\, du

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              eu4du=eudu4\int \frac{e^{u}}{4}\, du = \frac{\int e^{u}\, du}{4}

              1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

                eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Таким образом, результат будет: eu4\frac{e^{u}}{4}

            Если сейчас заменить uu ещё в:

            e4u4\frac{e^{4 u}}{4}

          Таким образом, результат будет: e4u16\frac{e^{4 u}}{16}

        Если сейчас заменить uu ещё в:

        x4log(x)4x416\frac{x^{4} \log{\left(x \right)}}{4} - \frac{x^{4}}{16}

      Метод #2

      1. Используем интегрирование по частям:

        udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        пусть u(x)=log(x)u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)} и пусть dv(x)=x3\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x^{3}.

        Затем du(x)=1x\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}.

        Чтобы найти v(x)v{\left(x \right)}:

        1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} когда n1n \neq -1:

          x3dx=x44\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}

        Теперь решаем под-интеграл.

      2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        x34dx=x3dx4\int \frac{x^{3}}{4}\, dx = \frac{\int x^{3}\, dx}{4}

        1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} когда n1n \neq -1:

          x3dx=x44\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}

        Таким образом, результат будет: x416\frac{x^{4}}{16}

    2. Теперь упростить:

      x4(4log(x)1)16\frac{x^{4} \cdot \left(4 \log{\left(x \right)} - 1\right)}{16}

    3. Добавляем постоянную интегрирования:

      x4(4log(x)1)16+constant\frac{x^{4} \cdot \left(4 \log{\left(x \right)} - 1\right)}{16}+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    x4(4log(x)1)16+constant\frac{x^{4} \cdot \left(4 \log{\left(x \right)} - 1\right)}{16}+ \mathrm{constant}

    График
    02468-8-6-4-2-1010-500010000
    Ответ [src]
    -1/16
    116- \frac{1}{16}
    =
    =
    -1/16
    116- \frac{1}{16}
    Численный ответ [src]
    -0.0625
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                                 
     |                     4    4       
     |  3                 x    x *log(x)
     | x *log(x) dx = C - -- + ---------
     |                    16       4    
    /                                   
    x3log(x)dx=C+x4log(x)4x416\int x^{3} \log{\left(x \right)}\, dx = C + \frac{x^{4} \log{\left(x \right)}}{4} - \frac{x^{4}}{16}