Интеграл (x^3-3*x^2-12)/((x-4)*(x-3)*x) (dx)

  1                     
  /                     
 |                      
 |     3      2         
 |    x  - 3*x  - 12    
 |  ----------------- dx
 |  (x - 4)*(x - 3)*x   
 |                      
/                       
0                       

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x^{3} - 3 x^{2} - 12}{x \left(x - 4\right) \left(x - 3\right)} = 1 + \frac{4}{x - 3} + \frac{1}{x - 4} - \frac{1}{x}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{4}{x - 3}\, dx = 4 \int \frac{1}{x - 3}\, dx$

         1. пусть $u = x - 3$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left (x - 3 \right )}$

         Таким образом, результат будет: $4 \log{\left (x - 3 \right )}$

      1. пусть $u = x - 4$.

         Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\log{\left (x - 4 \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{1}{x}\, dx = - \int \frac{1}{x}\, dx$

         1. Интеграл $\frac{1}{x}$ есть $\log{\left (x \right )}$.

         Таким образом, результат будет: $- \log{\left (x \right )}$

      Результат есть: $x - \log{\left (x \right )} + \log{\left (x - 4 \right )} + 4 \log{\left (x - 3 \right )}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x^{3} - 3 x^{2} - 12}{x \left(x - 4\right) \left(x - 3\right)} = \frac{x^{3}}{x^{3} - 7 x^{2} + 12 x} - \frac{3 x^{2}}{x^{3} - 7 x^{2} + 12 x} - \frac{12}{x^{3} - 7 x^{2} + 12 x}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{x^{3}}{x^{3} - 7 x^{2} + 12 x} = 1 - \frac{9}{x - 3} + \frac{16}{x - 4}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 1\, dx = x$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int - \frac{9}{x - 3}\, dx = - 9 \int \frac{1}{x - 3}\, dx$

            1. пусть $u = x - 3$.

               Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\log{\left (x - 3 \right )}$

            Таким образом, результат будет: $- 9 \log{\left (x - 3 \right )}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{16}{x - 4}\, dx = 16 \int \frac{1}{x - 4}\, dx$

            1. пусть $u = x - 4$.

               Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\log{\left (x - 4 \right )}$

            Таким образом, результат будет: $16 \log{\left (x - 4 \right )}$

         Результат есть: $x + 16 \log{\left (x - 4 \right )} - 9 \log{\left (x - 3 \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{3 x^{2}}{x^{3} - 7 x^{2} + 12 x}\, dx = - 3 \int \frac{x^{2}}{x^{3} - 7 x^{2} + 12 x}\, dx$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{x^{2}}{x^{3} - 7 x^{2} + 12 x} = - \frac{3}{x - 3} + \frac{4}{x - 4}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int - \frac{3}{x - 3}\, dx = - 3 \int \frac{1}{x - 3}\, dx$

               1. пусть $u = x - 3$.

                  Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\log{\left (x - 3 \right )}$

               Таким образом, результат будет: $- 3 \log{\left (x - 3 \right )}$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{4}{x - 4}\, dx = 4 \int \frac{1}{x - 4}\, dx$

               1. пусть $u = x - 4$.

                  Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\log{\left (x - 4 \right )}$

               Таким образом, результат будет: $4 \log{\left (x - 4 \right )}$

            Результат есть: $4 \log{\left (x - 4 \right )} - 3 \log{\left (x - 3 \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- 12 \log{\left (x - 4 \right )} + 9 \log{\left (x - 3 \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{12}{x^{3} - 7 x^{2} + 12 x}\, dx = - 12 \int \frac{1}{x^{3} - 7 x^{2} + 12 x}\, dx$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{1}{x^{3} - 7 x^{2} + 12 x} = - \frac{1}{3 x - 9} + \frac{1}{4 x - 16} + \frac{1}{12 x}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int - \frac{1}{3 x - 9}\, dx = - \frac{1}{3} \int \frac{1}{x - 3}\, dx$

               1. пусть $u = x - 3$.

                  Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\log{\left (x - 3 \right )}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{3} \log{\left (x - 3 \right )}$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{1}{4 x - 16}\, dx = \frac{1}{4} \int \frac{1}{x - 4}\, dx$

               1. пусть $u = x - 4$.

                  Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\log{\left (x - 4 \right )}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{1}{4} \log{\left (x - 4 \right )}$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{1}{12 x}\, dx = \frac{1}{12} \int \frac{1}{x}\, dx$

               1. Интеграл $\frac{1}{x}$ есть $\log{\left (x \right )}$.

               Таким образом, результат будет: $\frac{1}{12} \log{\left (x \right )}$

            Результат есть: $\frac{1}{12} \log{\left (x \right )} + \frac{1}{4} \log{\left (x - 4 \right )} - \frac{1}{3} \log{\left (x - 3 \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- \log{\left (x \right )} - 3 \log{\left (x - 4 \right )} + 4 \log{\left (x - 3 \right )}$

      Результат есть: $x - \log{\left (x \right )} + \log{\left (x - 4 \right )} + 4 \log{\left (x - 3 \right )}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $x - \log{\left (x \right )} + \log{\left (x - 4 \right )} + 4 \log{\left (x - 3 \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$x - \log{\left (x \right )} + \log{\left (x - 4 \right )} + 4 \log{\left (x - 3 \right )}+ \mathrm{constant}$

  1                                    
  /                                    
 |                                     
 |     3      2                        
 |    x  - 3*x  - 12                   
 |  ----------------- dx = -oo + 5*pi*I
 |  (x - 4)*(x - 3)*x                  
 |                                     
/                                      
0                                      

-44.9999886388773

  /                                                                   
 |                                                                    
 |    3      2                                                        
 |   x  - 3*x  - 12                                                   
 | ----------------- dx = C + x - log(x) + 4*log(-3 + x) + log(-4 + x)
 | (x - 4)*(x - 3)*x                                                  
 |                                                                    
/