Abs(tan(2*x))<1 (неравенство)

Укажите решение неравенства: Abs(tan(2*x))<1 (множество решений неравенства)

Вы ввели

|tan(2*x)| < 1

$$\left|{\tan{\left (2 x \right )}}\right| < 1$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\left|{\tan{\left (2 x \right )}}\right| < 1$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left|{\tan{\left (2 x \right )}}\right| = 1$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\left|{\tan{\left (2 x \right )}}\right| = 1$$
преобразуем
$$\left|{\tan{\left (2 x \right )}}\right| - 1 = 0$$
$$\left|{\tan{\left (2 x \right )}}\right| - 1 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \left|{\tan{\left (2 x \right )}}\right|$$
Переносим свободные слагаемые (без w)
из левой части в правую, получим:
$$w = 1$$
Получим ответ: w = 1
делаем обратную замену
$$\left|{\tan{\left (2 x \right )}}\right| = w$$
подставляем w:
$$x_{1} = -100.138265833$$
$$x_{2} = 1.96349540849$$
$$x_{3} = 93.855080526$$
$$x_{4} = -82.074108075$$
$$x_{5} = -47.5165888855$$
$$x_{6} = -61.6537558267$$
$$x_{7} = -91.4988860358$$
$$x_{8} = 100.138265833$$
$$x_{9} = -5.89048622548$$
$$x_{10} = 88.3572933822$$
$$x_{11} = 27.8816348006$$
$$x_{12} = 62.4391539901$$
$$x_{13} = 26.3108384738$$
$$x_{14} = 71.8639319509$$
$$x_{15} = 42.0188017418$$
$$x_{16} = 4.31968989869$$
$$x_{17} = -13.7444678595$$
$$x_{18} = 30.2378292908$$
$$x_{19} = 89.928089709$$
$$x_{20} = -25.5254403104$$
$$x_{21} = -3.53429173529$$
$$x_{22} = -45.9457925588$$
$$x_{23} = -27.8816348006$$
$$x_{24} = 60.0829594999$$
$$x_{25} = 53.7997741927$$
$$x_{26} = 56.1559686829$$
$$x_{27} = -75.7909227679$$
$$x_{28} = 8.24668071567$$
$$x_{29} = 96.2112750162$$
$$x_{30} = -79.7179135848$$
$$x_{31} = -74.2201264411$$
$$x_{32} = 82.074108075$$
$$x_{33} = 9.81747704247$$
$$x_{34} = -71.8639319509$$
$$x_{35} = -17.6714586764$$
$$x_{36} = -31.8086256176$$
$$x_{37} = -83.6449044018$$
$$x_{38} = -53.7997741927$$
$$x_{39} = 5.89048622548$$
$$x_{40} = 52.2289778659$$
$$x_{41} = 34.1648201078$$
$$x_{42} = -65.5807466437$$
$$x_{43} = -97.782071343$$
$$x_{44} = -16.1006623496$$
$$x_{45} = -9.81747704247$$
$$x_{46} = -86.001098892$$
$$x_{47} = 97.782071343$$
$$x_{48} = 49.8727833757$$
$$x_{49} = 70.2931356241$$
$$x_{50} = 31.8086256176$$
$$x_{51} = 92.2842841992$$
$$x_{52} = 75.7909227679$$
$$x_{53} = 22.3838476568$$
$$x_{54} = -67.9369411339$$
$$x_{55} = 40.448005415$$
$$x_{56} = -89.928089709$$
$$x_{57} = 74.2201264411$$
$$x_{58} = -56.1559686829$$
$$x_{59} = 0.392699081699$$
$$x_{60} = 78.147117258$$
$$x_{61} = 41.2334035784$$
$$x_{62} = 67.9369411339$$
$$x_{63} = -1.96349540849$$
$$x_{64} = -57.7267650097$$
$$x_{65} = -49.8727833757$$
$$x_{66} = 86.001098892$$
$$x_{67} = 66.3661448071$$
$$x_{68} = -35.7356164346$$
$$x_{69} = -21.5984494934$$
$$x_{70} = -20.0276531666$$
$$x_{71} = -43.5895980686$$
$$x_{72} = 84.4303025652$$
$$x_{73} = -93.855080526$$
$$x_{74} = -64.0099503169$$
$$x_{75} = -42.0188017418$$
$$x_{76} = -38.0918109248$$
$$x_{77} = -34.1648201078$$
$$x_{78} = -69.5077374607$$
$$x_{79} = -23.9546439836$$
$$x_{80} = -60.0829594999$$
$$x_{81} = -96.2112750162$$
$$x_{82} = -39.6626072516$$
$$x_{83} = -87.5718952188$$
$$x_{84} = -12.1736715327$$
$$x_{85} = 38.0918109248$$
$$x_{86} = 23.9546439836$$
$$x_{87} = 16.1006623496$$
$$x_{88} = -78.147117258$$
$$x_{89} = 44.374996232$$
$$x_{90} = 20.0276531666$$
$$x_{91} = 45.9457925588$$
$$x_{92} = -53.0143760293$$
$$x_{93} = 64.0099503169$$
$$x_{94} = 48.3019870489$$
$$x_{95} = 12.1736715327$$
$$x_{96} = 18.4568568398$$
$$x_{1} = -100.138265833$$
$$x_{2} = 1.96349540849$$
$$x_{3} = 93.855080526$$
$$x_{4} = -82.074108075$$
$$x_{5} = -47.5165888855$$
$$x_{6} = -61.6537558267$$
$$x_{7} = -91.4988860358$$
$$x_{8} = 100.138265833$$
$$x_{9} = -5.89048622548$$
$$x_{10} = 88.3572933822$$
$$x_{11} = 27.8816348006$$
$$x_{12} = 62.4391539901$$
$$x_{13} = 26.3108384738$$
$$x_{14} = 71.8639319509$$
$$x_{15} = 42.0188017418$$
$$x_{16} = 4.31968989869$$
$$x_{17} = -13.7444678595$$
$$x_{18} = 30.2378292908$$
$$x_{19} = 89.928089709$$
$$x_{20} = -25.5254403104$$
$$x_{21} = -3.53429173529$$
$$x_{22} = -45.9457925588$$
$$x_{23} = -27.8816348006$$
$$x_{24} = 60.0829594999$$
$$x_{25} = 53.7997741927$$
$$x_{26} = 56.1559686829$$
$$x_{27} = -75.7909227679$$
$$x_{28} = 8.24668071567$$
$$x_{29} = 96.2112750162$$
$$x_{30} = -79.7179135848$$
$$x_{31} = -74.2201264411$$
$$x_{32} = 82.074108075$$
$$x_{33} = 9.81747704247$$
$$x_{34} = -71.8639319509$$
$$x_{35} = -17.6714586764$$
$$x_{36} = -31.8086256176$$
$$x_{37} = -83.6449044018$$
$$x_{38} = -53.7997741927$$
$$x_{39} = 5.89048622548$$
$$x_{40} = 52.2289778659$$
$$x_{41} = 34.1648201078$$
$$x_{42} = -65.5807466437$$
$$x_{43} = -97.782071343$$
$$x_{44} = -16.1006623496$$
$$x_{45} = -9.81747704247$$
$$x_{46} = -86.001098892$$
$$x_{47} = 97.782071343$$
$$x_{48} = 49.8727833757$$
$$x_{49} = 70.2931356241$$
$$x_{50} = 31.8086256176$$
$$x_{51} = 92.2842841992$$
$$x_{52} = 75.7909227679$$
$$x_{53} = 22.3838476568$$
$$x_{54} = -67.9369411339$$
$$x_{55} = 40.448005415$$
$$x_{56} = -89.928089709$$
$$x_{57} = 74.2201264411$$
$$x_{58} = -56.1559686829$$
$$x_{59} = 0.392699081699$$
$$x_{60} = 78.147117258$$
$$x_{61} = 41.2334035784$$
$$x_{62} = 67.9369411339$$
$$x_{63} = -1.96349540849$$
$$x_{64} = -57.7267650097$$
$$x_{65} = -49.8727833757$$
$$x_{66} = 86.001098892$$
$$x_{67} = 66.3661448071$$
$$x_{68} = -35.7356164346$$
$$x_{69} = -21.5984494934$$
$$x_{70} = -20.0276531666$$
$$x_{71} = -43.5895980686$$
$$x_{72} = 84.4303025652$$
$$x_{73} = -93.855080526$$
$$x_{74} = -64.0099503169$$
$$x_{75} = -42.0188017418$$
$$x_{76} = -38.0918109248$$
$$x_{77} = -34.1648201078$$
$$x_{78} = -69.5077374607$$
$$x_{79} = -23.9546439836$$
$$x_{80} = -60.0829594999$$
$$x_{81} = -96.2112750162$$
$$x_{82} = -39.6626072516$$
$$x_{83} = -87.5718952188$$
$$x_{84} = -12.1736715327$$
$$x_{85} = 38.0918109248$$
$$x_{86} = 23.9546439836$$
$$x_{87} = 16.1006623496$$
$$x_{88} = -78.147117258$$
$$x_{89} = 44.374996232$$
$$x_{90} = 20.0276531666$$
$$x_{91} = 45.9457925588$$
$$x_{92} = -53.0143760293$$
$$x_{93} = 64.0099503169$$
$$x_{94} = 48.3019870489$$
$$x_{95} = 12.1736715327$$
$$x_{96} = 18.4568568398$$
Данные корни
$$x_{1} = -100.138265833$$
$$x_{43} = -97.782071343$$
$$x_{81} = -96.2112750162$$
$$x_{73} = -93.855080526$$
$$x_{7} = -91.4988860358$$
$$x_{56} = -89.928089709$$
$$x_{83} = -87.5718952188$$
$$x_{46} = -86.001098892$$
$$x_{37} = -83.6449044018$$
$$x_{4} = -82.074108075$$
$$x_{30} = -79.7179135848$$
$$x_{88} = -78.147117258$$
$$x_{27} = -75.7909227679$$
$$x_{31} = -74.2201264411$$
$$x_{34} = -71.8639319509$$
$$x_{78} = -69.5077374607$$
$$x_{54} = -67.9369411339$$
$$x_{42} = -65.5807466437$$
$$x_{74} = -64.0099503169$$
$$x_{6} = -61.6537558267$$
$$x_{80} = -60.0829594999$$
$$x_{64} = -57.7267650097$$
$$x_{58} = -56.1559686829$$
$$x_{38} = -53.7997741927$$
$$x_{92} = -53.0143760293$$
$$x_{65} = -49.8727833757$$
$$x_{5} = -47.5165888855$$
$$x_{22} = -45.9457925588$$
$$x_{71} = -43.5895980686$$
$$x_{75} = -42.0188017418$$
$$x_{82} = -39.6626072516$$
$$x_{76} = -38.0918109248$$
$$x_{68} = -35.7356164346$$
$$x_{77} = -34.1648201078$$
$$x_{36} = -31.8086256176$$
$$x_{23} = -27.8816348006$$
$$x_{20} = -25.5254403104$$
$$x_{79} = -23.9546439836$$
$$x_{69} = -21.5984494934$$
$$x_{70} = -20.0276531666$$
$$x_{35} = -17.6714586764$$
$$x_{44} = -16.1006623496$$
$$x_{17} = -13.7444678595$$
$$x_{84} = -12.1736715327$$
$$x_{45} = -9.81747704247$$
$$x_{9} = -5.89048622548$$
$$x_{21} = -3.53429173529$$
$$x_{63} = -1.96349540849$$
$$x_{59} = 0.392699081699$$
$$x_{2} = 1.96349540849$$
$$x_{16} = 4.31968989869$$
$$x_{39} = 5.89048622548$$
$$x_{28} = 8.24668071567$$
$$x_{33} = 9.81747704247$$
$$x_{95} = 12.1736715327$$
$$x_{87} = 16.1006623496$$
$$x_{96} = 18.4568568398$$
$$x_{90} = 20.0276531666$$
$$x_{53} = 22.3838476568$$
$$x_{86} = 23.9546439836$$
$$x_{13} = 26.3108384738$$
$$x_{11} = 27.8816348006$$
$$x_{18} = 30.2378292908$$
$$x_{50} = 31.8086256176$$
$$x_{41} = 34.1648201078$$
$$x_{85} = 38.0918109248$$
$$x_{55} = 40.448005415$$
$$x_{61} = 41.2334035784$$
$$x_{15} = 42.0188017418$$
$$x_{89} = 44.374996232$$
$$x_{91} = 45.9457925588$$
$$x_{94} = 48.3019870489$$
$$x_{48} = 49.8727833757$$
$$x_{40} = 52.2289778659$$
$$x_{25} = 53.7997741927$$
$$x_{26} = 56.1559686829$$
$$x_{24} = 60.0829594999$$
$$x_{12} = 62.4391539901$$
$$x_{93} = 64.0099503169$$
$$x_{67} = 66.3661448071$$
$$x_{62} = 67.9369411339$$
$$x_{49} = 70.2931356241$$
$$x_{14} = 71.8639319509$$
$$x_{57} = 74.2201264411$$
$$x_{52} = 75.7909227679$$
$$x_{60} = 78.147117258$$
$$x_{32} = 82.074108075$$
$$x_{72} = 84.4303025652$$
$$x_{66} = 86.001098892$$
$$x_{10} = 88.3572933822$$
$$x_{19} = 89.928089709$$
$$x_{51} = 92.2842841992$$
$$x_{3} = 93.855080526$$
$$x_{29} = 96.2112750162$$
$$x_{47} = 97.782071343$$
$$x_{8} = 100.138265833$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$-100.238265833$$
=
$$-100.238265833$$
подставляем в выражение
$$\left|{\tan{\left (2 x \right )}}\right| < 1$$
$$\left|{\tan{\left (-100.238265833 \cdot 2 \right )}}\right| < 1$$

0.662911210147905 < 1

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x < -100.138265833$$

 _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____          
      \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /
-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------
       x1      x43      x81      x73      x7      x56      x83      x46      x37      x4      x30      x88      x27      x31      x34      x78      x54      x42      x74      x6      x80      x64      x58      x38      x92      x65      x5      x22      x71      x75      x82      x76      x68      x77      x36      x23      x20      x79      x69      x70      x35      x44      x17      x84      x45      x9      x21      x63      x59      x2      x16      x39      x28      x33      x95      x87      x96      x90      x53      x86      x13      x11      x18      x50      x41      x85      x55      x61      x15      x89      x91      x94      x48      x40      x25      x26      x24      x12      x93      x67      x62      x49      x14      x57      x52      x60      x32      x72      x66      x10      x19      x51      x3      x29      x47      x8

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x < -100.138265833$$
$$x > -97.782071343 \wedge x < -96.2112750162$$
$$x > -93.855080526 \wedge x < -91.4988860358$$
$$x > -89.928089709 \wedge x < -87.5718952188$$
$$x > -86.001098892 \wedge x < -83.6449044018$$
$$x > -82.074108075 \wedge x < -79.7179135848$$
$$x > -78.147117258 \wedge x < -75.7909227679$$
$$x > -74.2201264411 \wedge x < -71.8639319509$$
$$x > -69.5077374607 \wedge x < -67.9369411339$$
$$x > -65.5807466437 \wedge x < -64.0099503169$$
$$x > -61.6537558267 \wedge x < -60.0829594999$$
$$x > -57.7267650097 \wedge x < -56.1559686829$$
$$x > -53.7997741927 \wedge x < -53.0143760293$$
$$x > -49.8727833757 \wedge x < -47.5165888855$$
$$x > -45.9457925588 \wedge x < -43.5895980686$$
$$x > -42.0188017418 \wedge x < -39.6626072516$$
$$x > -38.0918109248 \wedge x < -35.7356164346$$
$$x > -34.1648201078 \wedge x < -31.8086256176$$
$$x > -27.8816348006 \wedge x < -25.5254403104$$
$$x > -23.9546439836 \wedge x < -21.5984494934$$
$$x > -20.0276531666 \wedge x < -17.6714586764$$
$$x > -16.1006623496 \wedge x < -13.7444678595$$
$$x > -12.1736715327 \wedge x < -9.81747704247$$
$$x > -5.89048622548 \wedge x < -3.53429173529$$
$$x > -1.96349540849 \wedge x < 0.392699081699$$
$$x > 1.96349540849 \wedge x < 4.31968989869$$
$$x > 5.89048622548 \wedge x < 8.24668071567$$
$$x > 9.81747704247 \wedge x < 12.1736715327$$
$$x > 16.1006623496 \wedge x < 18.4568568398$$
$$x > 20.0276531666 \wedge x < 22.3838476568$$
$$x > 23.9546439836 \wedge x < 26.3108384738$$
$$x > 27.8816348006 \wedge x < 30.2378292908$$
$$x > 31.8086256176 \wedge x < 34.1648201078$$
$$x > 38.0918109248 \wedge x < 40.448005415$$
$$x > 41.2334035784 \wedge x < 42.0188017418$$
$$x > 44.374996232 \wedge x < 45.9457925588$$
$$x > 48.3019870489 \wedge x < 49.8727833757$$
$$x > 52.2289778659 \wedge x < 53.7997741927$$
$$x > 56.1559686829 \wedge x < 60.0829594999$$
$$x > 62.4391539901 \wedge x < 64.0099503169$$
$$x > 66.3661448071 \wedge x < 67.9369411339$$
$$x > 70.2931356241 \wedge x < 71.8639319509$$
$$x > 74.2201264411 \wedge x < 75.7909227679$$
$$x > 78.147117258 \wedge x < 82.074108075$$
$$x > 84.4303025652 \wedge x < 86.001098892$$
$$x > 88.3572933822 \wedge x < 89.928089709$$
$$x > 92.2842841992 \wedge x < 93.855080526$$
$$x > 96.2112750162 \wedge x < 97.782071343$$
$$x > 100.138265833$$

Быстрый ответ

   /-pi           pi\
And|---- < x, x < --|
   \ 8            8 /

$$- \frac{\pi}{8} < x \wedge x < \frac{\pi}{8}$$

Быстрый ответ 2

 -pi   pi 
(----, --)
  8    8  

$$x \in \left(- \frac{\pi}{8}, \frac{\pi}{8}\right)$$