Abs(tan(x))<1 (неравенство)

Укажите решение неравенства: Abs(tan(x))<1 (множество решений неравенства)

Вы ввели

|tan(x)| < 1

$$\left|{\tan{\left (x \right )}}\right| < 1$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\left|{\tan{\left (x \right )}}\right| < 1$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left|{\tan{\left (x \right )}}\right| = 1$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\left|{\tan{\left (x \right )}}\right| = 1$$
преобразуем
$$\left|{\tan{\left (x \right )}}\right| - 1 = 0$$
$$\left|{\tan{\left (x \right )}}\right| - 1 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \left|{\tan{\left (x \right )}}\right|$$
Переносим свободные слагаемые (без w)
из левой части в правую, получим:
$$w = 1$$
Получим ответ: w = 1
делаем обратную замену
$$\left|{\tan{\left (x \right )}}\right| = w$$
подставляем w:
$$x_{1} = -77.7544181763$$
$$x_{2} = 90.3207887907$$
$$x_{3} = 22.7765467385$$
$$x_{4} = -93.4623814443$$
$$x_{5} = 77.7544181763$$
$$x_{6} = -13.3517687778$$
$$x_{7} = -71.4712328692$$
$$x_{8} = 33.7721210261$$
$$x_{9} = -47.9092879672$$
$$x_{10} = 66.7588438888$$
$$x_{11} = 69.9004365424$$
$$x_{12} = -25.9181393921$$
$$x_{13} = 63.6172512352$$
$$x_{14} = 30.6305283725$$
$$x_{15} = -49.480084294$$
$$x_{16} = 84.0376034835$$
$$x_{17} = -87.1791961371$$
$$x_{18} = 54.1924732744$$
$$x_{19} = 2.35619449019$$
$$x_{20} = -33.7721210261$$
$$x_{21} = 10.2101761242$$
$$x_{22} = 62.0464549084$$
$$x_{23} = 76.1836218496$$
$$x_{24} = 49.480084294$$
$$x_{25} = -2.35619449019$$
$$x_{26} = -5.49778714378$$
$$x_{27} = -55.7632696012$$
$$x_{28} = 60.4756585816$$
$$x_{29} = -54.1924732744$$
$$x_{30} = -38.4845100065$$
$$x_{31} = -46.3384916404$$
$$x_{32} = 40.0553063333$$
$$x_{33} = -96.6039740979$$
$$x_{34} = 41.6261026601$$
$$x_{35} = -32.2013246993$$
$$x_{36} = -79.3252145031$$
$$x_{37} = -18.0641577581$$
$$x_{38} = -62.0464549084$$
$$x_{39} = 44.7676953137$$
$$x_{40} = 46.3384916404$$
$$x_{41} = -11.780972451$$
$$x_{42} = 27.4889357189$$
$$x_{43} = -65.188047562$$
$$x_{44} = -3.92699081699$$
$$x_{45} = 71.4712328692$$
$$x_{46} = 85.6083998103$$
$$x_{47} = 32.2013246993$$
$$x_{48} = 74.6128255228$$
$$x_{49} = -63.6172512352$$
$$x_{50} = -76.1836218496$$
$$x_{51} = 18.0641577581$$
$$x_{52} = -43.1968989869$$
$$x_{53} = -99.7455667515$$
$$x_{54} = -60.4756585816$$
$$x_{55} = -90.3207887907$$
$$x_{56} = -16.4933614313$$
$$x_{57} = -69.9004365424$$
$$x_{58} = 88.7499924639$$
$$x_{59} = 3.92699081699$$
$$x_{60} = 80.8960108299$$
$$x_{61} = 93.4623814443$$
$$x_{62} = 11.780972451$$
$$x_{63} = 98.1747704247$$
$$x_{64} = -19.6349540849$$
$$x_{65} = 38.4845100065$$
$$x_{66} = -21.2057504117$$
$$x_{67} = 24.3473430653$$
$$x_{68} = -84.0376034835$$
$$x_{69} = -35.3429173529$$
$$x_{70} = -41.6261026601$$
$$x_{71} = -30.6305283725$$
$$x_{72} = -91.8915851175$$
$$x_{73} = 82.4668071567$$
$$x_{74} = 0.785398163397$$
$$x_{75} = 96.6039740979$$
$$x_{76} = 25.9181393921$$
$$x_{77} = -27.4889357189$$
$$x_{78} = -24.3473430653$$
$$x_{79} = -8.63937979737$$
$$x_{80} = -82.4668071567$$
$$x_{81} = -10.2101761242$$
$$x_{82} = -74.6128255228$$
$$x_{83} = -40.0553063333$$
$$x_{84} = -85.6083998103$$
$$x_{85} = -57.334065928$$
$$x_{86} = -98.1747704247$$
$$x_{87} = 47.9092879672$$
$$x_{88} = 16.4933614313$$
$$x_{89} = 13.3517687778$$
$$x_{90} = 68.3296402156$$
$$x_{91} = 19.6349540849$$
$$x_{92} = 5.49778714378$$
$$x_{93} = 99.7455667515$$
$$x_{94} = 52.6216769476$$
$$x_{95} = -52.6216769476$$
$$x_{96} = -68.3296402156$$
$$x_{97} = 55.7632696012$$
$$x_{98} = 91.8915851175$$
$$x_{99} = 8.63937979737$$
$$x_{1} = -77.7544181763$$
$$x_{2} = 90.3207887907$$
$$x_{3} = 22.7765467385$$
$$x_{4} = -93.4623814443$$
$$x_{5} = 77.7544181763$$
$$x_{6} = -13.3517687778$$
$$x_{7} = -71.4712328692$$
$$x_{8} = 33.7721210261$$
$$x_{9} = -47.9092879672$$
$$x_{10} = 66.7588438888$$
$$x_{11} = 69.9004365424$$
$$x_{12} = -25.9181393921$$
$$x_{13} = 63.6172512352$$
$$x_{14} = 30.6305283725$$
$$x_{15} = -49.480084294$$
$$x_{16} = 84.0376034835$$
$$x_{17} = -87.1791961371$$
$$x_{18} = 54.1924732744$$
$$x_{19} = 2.35619449019$$
$$x_{20} = -33.7721210261$$
$$x_{21} = 10.2101761242$$
$$x_{22} = 62.0464549084$$
$$x_{23} = 76.1836218496$$
$$x_{24} = 49.480084294$$
$$x_{25} = -2.35619449019$$
$$x_{26} = -5.49778714378$$
$$x_{27} = -55.7632696012$$
$$x_{28} = 60.4756585816$$
$$x_{29} = -54.1924732744$$
$$x_{30} = -38.4845100065$$
$$x_{31} = -46.3384916404$$
$$x_{32} = 40.0553063333$$
$$x_{33} = -96.6039740979$$
$$x_{34} = 41.6261026601$$
$$x_{35} = -32.2013246993$$
$$x_{36} = -79.3252145031$$
$$x_{37} = -18.0641577581$$
$$x_{38} = -62.0464549084$$
$$x_{39} = 44.7676953137$$
$$x_{40} = 46.3384916404$$
$$x_{41} = -11.780972451$$
$$x_{42} = 27.4889357189$$
$$x_{43} = -65.188047562$$
$$x_{44} = -3.92699081699$$
$$x_{45} = 71.4712328692$$
$$x_{46} = 85.6083998103$$
$$x_{47} = 32.2013246993$$
$$x_{48} = 74.6128255228$$
$$x_{49} = -63.6172512352$$
$$x_{50} = -76.1836218496$$
$$x_{51} = 18.0641577581$$
$$x_{52} = -43.1968989869$$
$$x_{53} = -99.7455667515$$
$$x_{54} = -60.4756585816$$
$$x_{55} = -90.3207887907$$
$$x_{56} = -16.4933614313$$
$$x_{57} = -69.9004365424$$
$$x_{58} = 88.7499924639$$
$$x_{59} = 3.92699081699$$
$$x_{60} = 80.8960108299$$
$$x_{61} = 93.4623814443$$
$$x_{62} = 11.780972451$$
$$x_{63} = 98.1747704247$$
$$x_{64} = -19.6349540849$$
$$x_{65} = 38.4845100065$$
$$x_{66} = -21.2057504117$$
$$x_{67} = 24.3473430653$$
$$x_{68} = -84.0376034835$$
$$x_{69} = -35.3429173529$$
$$x_{70} = -41.6261026601$$
$$x_{71} = -30.6305283725$$
$$x_{72} = -91.8915851175$$
$$x_{73} = 82.4668071567$$
$$x_{74} = 0.785398163397$$
$$x_{75} = 96.6039740979$$
$$x_{76} = 25.9181393921$$
$$x_{77} = -27.4889357189$$
$$x_{78} = -24.3473430653$$
$$x_{79} = -8.63937979737$$
$$x_{80} = -82.4668071567$$
$$x_{81} = -10.2101761242$$
$$x_{82} = -74.6128255228$$
$$x_{83} = -40.0553063333$$
$$x_{84} = -85.6083998103$$
$$x_{85} = -57.334065928$$
$$x_{86} = -98.1747704247$$
$$x_{87} = 47.9092879672$$
$$x_{88} = 16.4933614313$$
$$x_{89} = 13.3517687778$$
$$x_{90} = 68.3296402156$$
$$x_{91} = 19.6349540849$$
$$x_{92} = 5.49778714378$$
$$x_{93} = 99.7455667515$$
$$x_{94} = 52.6216769476$$
$$x_{95} = -52.6216769476$$
$$x_{96} = -68.3296402156$$
$$x_{97} = 55.7632696012$$
$$x_{98} = 91.8915851175$$
$$x_{99} = 8.63937979737$$
Данные корни
$$x_{53} = -99.7455667515$$
$$x_{86} = -98.1747704247$$
$$x_{33} = -96.6039740979$$
$$x_{4} = -93.4623814443$$
$$x_{72} = -91.8915851175$$
$$x_{55} = -90.3207887907$$
$$x_{17} = -87.1791961371$$
$$x_{84} = -85.6083998103$$
$$x_{68} = -84.0376034835$$
$$x_{80} = -82.4668071567$$
$$x_{36} = -79.3252145031$$
$$x_{1} = -77.7544181763$$
$$x_{50} = -76.1836218496$$
$$x_{82} = -74.6128255228$$
$$x_{7} = -71.4712328692$$
$$x_{57} = -69.9004365424$$
$$x_{96} = -68.3296402156$$
$$x_{43} = -65.188047562$$
$$x_{49} = -63.6172512352$$
$$x_{38} = -62.0464549084$$
$$x_{54} = -60.4756585816$$
$$x_{85} = -57.334065928$$
$$x_{27} = -55.7632696012$$
$$x_{29} = -54.1924732744$$
$$x_{95} = -52.6216769476$$
$$x_{15} = -49.480084294$$
$$x_{9} = -47.9092879672$$
$$x_{31} = -46.3384916404$$
$$x_{52} = -43.1968989869$$
$$x_{70} = -41.6261026601$$
$$x_{83} = -40.0553063333$$
$$x_{30} = -38.4845100065$$
$$x_{69} = -35.3429173529$$
$$x_{20} = -33.7721210261$$
$$x_{35} = -32.2013246993$$
$$x_{71} = -30.6305283725$$
$$x_{77} = -27.4889357189$$
$$x_{12} = -25.9181393921$$
$$x_{78} = -24.3473430653$$
$$x_{66} = -21.2057504117$$
$$x_{64} = -19.6349540849$$
$$x_{37} = -18.0641577581$$
$$x_{56} = -16.4933614313$$
$$x_{6} = -13.3517687778$$
$$x_{41} = -11.780972451$$
$$x_{81} = -10.2101761242$$
$$x_{79} = -8.63937979737$$
$$x_{26} = -5.49778714378$$
$$x_{44} = -3.92699081699$$
$$x_{25} = -2.35619449019$$
$$x_{74} = 0.785398163397$$
$$x_{19} = 2.35619449019$$
$$x_{59} = 3.92699081699$$
$$x_{92} = 5.49778714378$$
$$x_{99} = 8.63937979737$$
$$x_{21} = 10.2101761242$$
$$x_{62} = 11.780972451$$
$$x_{89} = 13.3517687778$$
$$x_{88} = 16.4933614313$$
$$x_{51} = 18.0641577581$$
$$x_{91} = 19.6349540849$$
$$x_{3} = 22.7765467385$$
$$x_{67} = 24.3473430653$$
$$x_{76} = 25.9181393921$$
$$x_{42} = 27.4889357189$$
$$x_{14} = 30.6305283725$$
$$x_{47} = 32.2013246993$$
$$x_{8} = 33.7721210261$$
$$x_{65} = 38.4845100065$$
$$x_{32} = 40.0553063333$$
$$x_{34} = 41.6261026601$$
$$x_{39} = 44.7676953137$$
$$x_{40} = 46.3384916404$$
$$x_{87} = 47.9092879672$$
$$x_{24} = 49.480084294$$
$$x_{94} = 52.6216769476$$
$$x_{18} = 54.1924732744$$
$$x_{97} = 55.7632696012$$
$$x_{28} = 60.4756585816$$
$$x_{22} = 62.0464549084$$
$$x_{13} = 63.6172512352$$
$$x_{10} = 66.7588438888$$
$$x_{90} = 68.3296402156$$
$$x_{11} = 69.9004365424$$
$$x_{45} = 71.4712328692$$
$$x_{48} = 74.6128255228$$
$$x_{23} = 76.1836218496$$
$$x_{5} = 77.7544181763$$
$$x_{60} = 80.8960108299$$
$$x_{73} = 82.4668071567$$
$$x_{16} = 84.0376034835$$
$$x_{46} = 85.6083998103$$
$$x_{58} = 88.7499924639$$
$$x_{2} = 90.3207887907$$
$$x_{98} = 91.8915851175$$
$$x_{61} = 93.4623814443$$
$$x_{75} = 96.6039740979$$
$$x_{63} = 98.1747704247$$
$$x_{93} = 99.7455667515$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{53}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{53} - \frac{1}{10}$$
=
$$-99.8455667515$$
=
$$-99.8455667515$$
подставляем в выражение
$$\left|{\tan{\left (x \right )}}\right| < 1$$
$$\left|{\tan{\left (-99.8455667515 \right )}}\right| < 1$$

0.817628809392389 < 1

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x < -99.7455667515$$

 _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____          
      \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \    
-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------
       x53      x86      x33      x4      x72      x55      x17      x84      x68      x80      x36      x1      x50      x82      x7      x57      x96      x43      x49      x38      x54      x85      x27      x29      x95      x15      x9      x31      x52      x70      x83      x30      x69      x20      x35      x71      x77      x12      x78      x66      x64      x37      x56      x6      x41      x81      x79      x26      x44      x25      x74      x19      x59      x92      x99      x21      x62      x89      x88      x51      x91      x3      x67      x76      x42      x14      x47      x8      x65      x32      x34      x39      x40      x87      x24      x94      x18      x97      x28      x22      x13      x10      x90      x11      x45      x48      x23      x5      x60      x73      x16      x46      x58      x2      x98      x61      x75      x63      x93

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x < -99.7455667515$$
$$x > -98.1747704247 \wedge x < -96.6039740979$$
$$x > -93.4623814443 \wedge x < -91.8915851175$$
$$x > -90.3207887907 \wedge x < -87.1791961371$$
$$x > -85.6083998103 \wedge x < -84.0376034835$$
$$x > -82.4668071567 \wedge x < -79.3252145031$$
$$x > -77.7544181763 \wedge x < -76.1836218496$$
$$x > -74.6128255228 \wedge x < -71.4712328692$$
$$x > -69.9004365424 \wedge x < -68.3296402156$$
$$x > -65.188047562 \wedge x < -63.6172512352$$
$$x > -62.0464549084 \wedge x < -60.4756585816$$
$$x > -57.334065928 \wedge x < -55.7632696012$$
$$x > -54.1924732744 \wedge x < -52.6216769476$$
$$x > -49.480084294 \wedge x < -47.9092879672$$
$$x > -46.3384916404 \wedge x < -43.1968989869$$
$$x > -41.6261026601 \wedge x < -40.0553063333$$
$$x > -38.4845100065 \wedge x < -35.3429173529$$
$$x > -33.7721210261 \wedge x < -32.2013246993$$
$$x > -30.6305283725 \wedge x < -27.4889357189$$
$$x > -25.9181393921 \wedge x < -24.3473430653$$
$$x > -21.2057504117 \wedge x < -19.6349540849$$
$$x > -18.0641577581 \wedge x < -16.4933614313$$
$$x > -13.3517687778 \wedge x < -11.780972451$$
$$x > -10.2101761242 \wedge x < -8.63937979737$$
$$x > -5.49778714378 \wedge x < -3.92699081699$$
$$x > -2.35619449019 \wedge x < 0.785398163397$$
$$x > 2.35619449019 \wedge x < 3.92699081699$$
$$x > 5.49778714378 \wedge x < 8.63937979737$$
$$x > 10.2101761242 \wedge x < 11.780972451$$
$$x > 13.3517687778 \wedge x < 16.4933614313$$
$$x > 18.0641577581 \wedge x < 19.6349540849$$
$$x > 22.7765467385 \wedge x < 24.3473430653$$
$$x > 25.9181393921 \wedge x < 27.4889357189$$
$$x > 30.6305283725 \wedge x < 32.2013246993$$
$$x > 33.7721210261 \wedge x < 38.4845100065$$
$$x > 40.0553063333 \wedge x < 41.6261026601$$
$$x > 44.7676953137 \wedge x < 46.3384916404$$
$$x > 47.9092879672 \wedge x < 49.480084294$$
$$x > 52.6216769476 \wedge x < 54.1924732744$$
$$x > 55.7632696012 \wedge x < 60.4756585816$$
$$x > 62.0464549084 \wedge x < 63.6172512352$$
$$x > 66.7588438888 \wedge x < 68.3296402156$$
$$x > 69.9004365424 \wedge x < 71.4712328692$$
$$x > 74.6128255228 \wedge x < 76.1836218496$$
$$x > 77.7544181763 \wedge x < 80.8960108299$$
$$x > 82.4668071567 \wedge x < 84.0376034835$$
$$x > 85.6083998103 \wedge x < 88.7499924639$$
$$x > 90.3207887907 \wedge x < 91.8915851175$$
$$x > 93.4623814443 \wedge x < 96.6039740979$$
$$x > 98.1747704247 \wedge x < 99.7455667515$$

Быстрый ответ

   /-pi           pi\
And|---- < x, x < --|
   \ 4            4 /

$$- \frac{\pi}{4} < x \wedge x < \frac{\pi}{4}$$

Быстрый ответ 2

 -pi   pi 
(----, --)
  4    4  

$$x \in \left(- \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right)$$

График