Abs(tan(x))<1/2 (неравенство)

Укажите решение неравенства: Abs(tan(x))<1/2 (множество решений неравенства)

Вы ввели

|tan(x)| < 1/2

$$\left|{\tan{\left (x \right )}}\right| < \frac{1}{2}$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\left|{\tan{\left (x \right )}}\right| < \frac{1}{2}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left|{\tan{\left (x \right )}}\right| = \frac{1}{2}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\left|{\tan{\left (x \right )}}\right| = \frac{1}{2}$$
преобразуем
$$\left|{\tan{\left (x \right )}}\right| - \frac{1}{2} = 0$$
$$\left|{\tan{\left (x \right )}}\right| - \frac{1}{2} = 0$$
Сделаем замену
$$w = \left|{\tan{\left (x \right )}}\right|$$
Переносим свободные слагаемые (без w)
из левой части в правую, получим:
$$w = \frac{1}{2}$$
Получим ответ: w = 1/2
делаем обратную замену
$$\left|{\tan{\left (x \right )}}\right| = w$$
подставляем w:
$$x_{1} = -78.0761687307$$
$$x_{2} = -21.5275009661$$
$$x_{3} = 38.1627594521$$
$$x_{4} = -3.60524026259$$
$$x_{5} = -62.3682054628$$
$$x_{6} = 41.3043521057$$
$$x_{7} = -38.1627594521$$
$$x_{8} = -34.0938715805$$
$$x_{9} = -41.3043521057$$
$$x_{10} = -65.5097981164$$
$$x_{11} = 34.0938715805$$
$$x_{12} = -49.8018348484$$
$$x_{13} = -74.9345760772$$
$$x_{14} = -16.1716108769$$
$$x_{15} = -79.0034639487$$
$$x_{16} = -47.5875374128$$
$$x_{17} = 44.4459447593$$
$$x_{18} = 40.3770568877$$
$$x_{19} = -53.87072272$$
$$x_{20} = 78.0761687307$$
$$x_{21} = -40.3770568877$$
$$x_{22} = 5.81953769818$$
$$x_{23} = -5.81953769818$$
$$x_{24} = 12.1027230054$$
$$x_{25} = 18.3859083125$$
$$x_{26} = 0.463647609001$$
$$x_{27} = -52.943427502$$
$$x_{28} = 22.4547961841$$
$$x_{29} = -87.5009466915$$
$$x_{30} = 88.4282419095$$
$$x_{31} = -60.1539080272$$
$$x_{32} = 85.2866492559$$
$$x_{33} = 96.9257246523$$
$$x_{34} = -46.6602421948$$
$$x_{35} = 47.5875374128$$
$$x_{36} = -24.6690936197$$
$$x_{37} = 49.8018348484$$
$$x_{38} = 31.8795741449$$
$$x_{39} = -25.5963888377$$
$$x_{40} = 75.8618712952$$
$$x_{41} = -2.67794504459$$
$$x_{42} = -13.0300182234$$
$$x_{43} = -96.9257246523$$
$$x_{44} = 2.67794504459$$
$$x_{45} = 53.87072272$$
$$x_{46} = 84.3593540379$$
$$x_{47} = 60.1539080272$$
$$x_{48} = 46.6602421948$$
$$x_{49} = -12.1027230054$$
$$x_{50} = -19.3132035305$$
$$x_{51} = -31.8795741449$$
$$x_{52} = -90.6425393451$$
$$x_{53} = -68.65139077$$
$$x_{54} = 16.1716108769$$
$$x_{55} = 97.8530198703$$
$$x_{56} = 27.8106862733$$
$$x_{57} = 74.9345760772$$
$$x_{58} = -85.2866492559$$
$$x_{59} = -30.9522789269$$
$$x_{60} = -91.5698345631$$
$$x_{61} = -43.5186495413$$
$$x_{62} = -63.2955006808$$
$$x_{63} = -82.1450566023$$
$$x_{64} = 62.3682054628$$
$$x_{65} = 100.067317306$$
$$x_{66} = -71.7929834236$$
$$x_{67} = 82.1450566023$$
$$x_{68} = 56.0850201556$$
$$x_{69} = -18.3859083125$$
$$x_{70} = 52.943427502$$
$$x_{71} = 24.6690936197$$
$$x_{72} = -93.7841319987$$
$$x_{73} = 30.9522789269$$
$$x_{74} = 69.578685988$$
$$x_{75} = 63.2955006808$$
$$x_{76} = 8.96113035177$$
$$x_{77} = -9.88842556977$$
$$x_{78} = 19.3132035305$$
$$x_{79} = 93.7841319987$$
$$x_{80} = 68.65139077$$
$$x_{81} = 81.2177613843$$
$$x_{82} = 90.6425393451$$
$$x_{83} = -56.0850201556$$
$$x_{84} = 9.88842556977$$
$$x_{85} = -69.578685988$$
$$x_{86} = 71.7929834236$$
$$x_{87} = 25.5963888377$$
$$x_{88} = -35.0211667985$$
$$x_{89} = 91.5698345631$$
$$x_{90} = -97.8530198703$$
$$x_{91} = -8.96113035177$$
$$x_{92} = 13.0300182234$$
$$x_{93} = -100.067317306$$
$$x_{94} = 3.60524026259$$
$$x_{95} = 66.4370933344$$
$$x_{96} = -57.0123153736$$
$$x_{97} = -75.8618712952$$
$$x_{98} = -84.3593540379$$
$$x_{99} = -27.8106862733$$
$$x_{1} = -78.0761687307$$
$$x_{2} = -21.5275009661$$
$$x_{3} = 38.1627594521$$
$$x_{4} = -3.60524026259$$
$$x_{5} = -62.3682054628$$
$$x_{6} = 41.3043521057$$
$$x_{7} = -38.1627594521$$
$$x_{8} = -34.0938715805$$
$$x_{9} = -41.3043521057$$
$$x_{10} = -65.5097981164$$
$$x_{11} = 34.0938715805$$
$$x_{12} = -49.8018348484$$
$$x_{13} = -74.9345760772$$
$$x_{14} = -16.1716108769$$
$$x_{15} = -79.0034639487$$
$$x_{16} = -47.5875374128$$
$$x_{17} = 44.4459447593$$
$$x_{18} = 40.3770568877$$
$$x_{19} = -53.87072272$$
$$x_{20} = 78.0761687307$$
$$x_{21} = -40.3770568877$$
$$x_{22} = 5.81953769818$$
$$x_{23} = -5.81953769818$$
$$x_{24} = 12.1027230054$$
$$x_{25} = 18.3859083125$$
$$x_{26} = 0.463647609001$$
$$x_{27} = -52.943427502$$
$$x_{28} = 22.4547961841$$
$$x_{29} = -87.5009466915$$
$$x_{30} = 88.4282419095$$
$$x_{31} = -60.1539080272$$
$$x_{32} = 85.2866492559$$
$$x_{33} = 96.9257246523$$
$$x_{34} = -46.6602421948$$
$$x_{35} = 47.5875374128$$
$$x_{36} = -24.6690936197$$
$$x_{37} = 49.8018348484$$
$$x_{38} = 31.8795741449$$
$$x_{39} = -25.5963888377$$
$$x_{40} = 75.8618712952$$
$$x_{41} = -2.67794504459$$
$$x_{42} = -13.0300182234$$
$$x_{43} = -96.9257246523$$
$$x_{44} = 2.67794504459$$
$$x_{45} = 53.87072272$$
$$x_{46} = 84.3593540379$$
$$x_{47} = 60.1539080272$$
$$x_{48} = 46.6602421948$$
$$x_{49} = -12.1027230054$$
$$x_{50} = -19.3132035305$$
$$x_{51} = -31.8795741449$$
$$x_{52} = -90.6425393451$$
$$x_{53} = -68.65139077$$
$$x_{54} = 16.1716108769$$
$$x_{55} = 97.8530198703$$
$$x_{56} = 27.8106862733$$
$$x_{57} = 74.9345760772$$
$$x_{58} = -85.2866492559$$
$$x_{59} = -30.9522789269$$
$$x_{60} = -91.5698345631$$
$$x_{61} = -43.5186495413$$
$$x_{62} = -63.2955006808$$
$$x_{63} = -82.1450566023$$
$$x_{64} = 62.3682054628$$
$$x_{65} = 100.067317306$$
$$x_{66} = -71.7929834236$$
$$x_{67} = 82.1450566023$$
$$x_{68} = 56.0850201556$$
$$x_{69} = -18.3859083125$$
$$x_{70} = 52.943427502$$
$$x_{71} = 24.6690936197$$
$$x_{72} = -93.7841319987$$
$$x_{73} = 30.9522789269$$
$$x_{74} = 69.578685988$$
$$x_{75} = 63.2955006808$$
$$x_{76} = 8.96113035177$$
$$x_{77} = -9.88842556977$$
$$x_{78} = 19.3132035305$$
$$x_{79} = 93.7841319987$$
$$x_{80} = 68.65139077$$
$$x_{81} = 81.2177613843$$
$$x_{82} = 90.6425393451$$
$$x_{83} = -56.0850201556$$
$$x_{84} = 9.88842556977$$
$$x_{85} = -69.578685988$$
$$x_{86} = 71.7929834236$$
$$x_{87} = 25.5963888377$$
$$x_{88} = -35.0211667985$$
$$x_{89} = 91.5698345631$$
$$x_{90} = -97.8530198703$$
$$x_{91} = -8.96113035177$$
$$x_{92} = 13.0300182234$$
$$x_{93} = -100.067317306$$
$$x_{94} = 3.60524026259$$
$$x_{95} = 66.4370933344$$
$$x_{96} = -57.0123153736$$
$$x_{97} = -75.8618712952$$
$$x_{98} = -84.3593540379$$
$$x_{99} = -27.8106862733$$
Данные корни
$$x_{93} = -100.067317306$$
$$x_{90} = -97.8530198703$$
$$x_{43} = -96.9257246523$$
$$x_{72} = -93.7841319987$$
$$x_{60} = -91.5698345631$$
$$x_{52} = -90.6425393451$$
$$x_{29} = -87.5009466915$$
$$x_{58} = -85.2866492559$$
$$x_{98} = -84.3593540379$$
$$x_{63} = -82.1450566023$$
$$x_{15} = -79.0034639487$$
$$x_{1} = -78.0761687307$$
$$x_{97} = -75.8618712952$$
$$x_{13} = -74.9345760772$$
$$x_{66} = -71.7929834236$$
$$x_{85} = -69.578685988$$
$$x_{53} = -68.65139077$$
$$x_{10} = -65.5097981164$$
$$x_{62} = -63.2955006808$$
$$x_{5} = -62.3682054628$$
$$x_{31} = -60.1539080272$$
$$x_{96} = -57.0123153736$$
$$x_{83} = -56.0850201556$$
$$x_{19} = -53.87072272$$
$$x_{27} = -52.943427502$$
$$x_{12} = -49.8018348484$$
$$x_{16} = -47.5875374128$$
$$x_{34} = -46.6602421948$$
$$x_{61} = -43.5186495413$$
$$x_{9} = -41.3043521057$$
$$x_{21} = -40.3770568877$$
$$x_{7} = -38.1627594521$$
$$x_{88} = -35.0211667985$$
$$x_{8} = -34.0938715805$$
$$x_{51} = -31.8795741449$$
$$x_{59} = -30.9522789269$$
$$x_{99} = -27.8106862733$$
$$x_{39} = -25.5963888377$$
$$x_{36} = -24.6690936197$$
$$x_{2} = -21.5275009661$$
$$x_{50} = -19.3132035305$$
$$x_{69} = -18.3859083125$$
$$x_{14} = -16.1716108769$$
$$x_{42} = -13.0300182234$$
$$x_{49} = -12.1027230054$$
$$x_{77} = -9.88842556977$$
$$x_{91} = -8.96113035177$$
$$x_{23} = -5.81953769818$$
$$x_{4} = -3.60524026259$$
$$x_{41} = -2.67794504459$$
$$x_{26} = 0.463647609001$$
$$x_{44} = 2.67794504459$$
$$x_{94} = 3.60524026259$$
$$x_{22} = 5.81953769818$$
$$x_{76} = 8.96113035177$$
$$x_{84} = 9.88842556977$$
$$x_{24} = 12.1027230054$$
$$x_{92} = 13.0300182234$$
$$x_{54} = 16.1716108769$$
$$x_{25} = 18.3859083125$$
$$x_{78} = 19.3132035305$$
$$x_{28} = 22.4547961841$$
$$x_{71} = 24.6690936197$$
$$x_{87} = 25.5963888377$$
$$x_{56} = 27.8106862733$$
$$x_{73} = 30.9522789269$$
$$x_{38} = 31.8795741449$$
$$x_{11} = 34.0938715805$$
$$x_{3} = 38.1627594521$$
$$x_{18} = 40.3770568877$$
$$x_{6} = 41.3043521057$$
$$x_{17} = 44.4459447593$$
$$x_{48} = 46.6602421948$$
$$x_{35} = 47.5875374128$$
$$x_{37} = 49.8018348484$$
$$x_{70} = 52.943427502$$
$$x_{45} = 53.87072272$$
$$x_{68} = 56.0850201556$$
$$x_{47} = 60.1539080272$$
$$x_{64} = 62.3682054628$$
$$x_{75} = 63.2955006808$$
$$x_{95} = 66.4370933344$$
$$x_{80} = 68.65139077$$
$$x_{74} = 69.578685988$$
$$x_{86} = 71.7929834236$$
$$x_{57} = 74.9345760772$$
$$x_{40} = 75.8618712952$$
$$x_{20} = 78.0761687307$$
$$x_{81} = 81.2177613843$$
$$x_{67} = 82.1450566023$$
$$x_{46} = 84.3593540379$$
$$x_{32} = 85.2866492559$$
$$x_{30} = 88.4282419095$$
$$x_{82} = 90.6425393451$$
$$x_{89} = 91.5698345631$$
$$x_{79} = 93.7841319987$$
$$x_{33} = 96.9257246523$$
$$x_{55} = 97.8530198703$$
$$x_{65} = 100.067317306$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{93}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{93} - \frac{1}{10}$$
=
$$-100.167317306$$
=
$$-100.167317306$$
подставляем в выражение
$$\left|{\tan{\left (x \right )}}\right| < \frac{1}{2}$$
$$\left|{\tan{\left (-100.167317306 \right )}}\right| < \frac{1}{2}$$

0.380572994459515 < 1/2

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x < -100.067317306$$

 _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____          
      \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \    
-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------
       x93      x90      x43      x72      x60      x52      x29      x58      x98      x63      x15      x1      x97      x13      x66      x85      x53      x10      x62      x5      x31      x96      x83      x19      x27      x12      x16      x34      x61      x9      x21      x7      x88      x8      x51      x59      x99      x39      x36      x2      x50      x69      x14      x42      x49      x77      x91      x23      x4      x41      x26      x44      x94      x22      x76      x84      x24      x92      x54      x25      x78      x28      x71      x87      x56      x73      x38      x11      x3      x18      x6      x17      x48      x35      x37      x70      x45      x68      x47      x64      x75      x95      x80      x74      x86      x57      x40      x20      x81      x67      x46      x32      x30      x82      x89      x79      x33      x55      x65

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x < -100.067317306$$
$$x > -97.8530198703 \wedge x < -96.9257246523$$
$$x > -93.7841319987 \wedge x < -91.5698345631$$
$$x > -90.6425393451 \wedge x < -87.5009466915$$
$$x > -85.2866492559 \wedge x < -84.3593540379$$
$$x > -82.1450566023 \wedge x < -79.0034639487$$
$$x > -78.0761687307 \wedge x < -75.8618712952$$
$$x > -74.9345760772 \wedge x < -71.7929834236$$
$$x > -69.578685988 \wedge x < -68.65139077$$
$$x > -65.5097981164 \wedge x < -63.2955006808$$
$$x > -62.3682054628 \wedge x < -60.1539080272$$
$$x > -57.0123153736 \wedge x < -56.0850201556$$
$$x > -53.87072272 \wedge x < -52.943427502$$
$$x > -49.8018348484 \wedge x < -47.5875374128$$
$$x > -46.6602421948 \wedge x < -43.5186495413$$
$$x > -41.3043521057 \wedge x < -40.3770568877$$
$$x > -38.1627594521 \wedge x < -35.0211667985$$
$$x > -34.0938715805 \wedge x < -31.8795741449$$
$$x > -30.9522789269 \wedge x < -27.8106862733$$
$$x > -25.5963888377 \wedge x < -24.6690936197$$
$$x > -21.5275009661 \wedge x < -19.3132035305$$
$$x > -18.3859083125 \wedge x < -16.1716108769$$
$$x > -13.0300182234 \wedge x < -12.1027230054$$
$$x > -9.88842556977 \wedge x < -8.96113035177$$
$$x > -5.81953769818 \wedge x < -3.60524026259$$
$$x > -2.67794504459 \wedge x < 0.463647609001$$
$$x > 2.67794504459 \wedge x < 3.60524026259$$
$$x > 5.81953769818 \wedge x < 8.96113035177$$
$$x > 9.88842556977 \wedge x < 12.1027230054$$
$$x > 13.0300182234 \wedge x < 16.1716108769$$
$$x > 18.3859083125 \wedge x < 19.3132035305$$
$$x > 22.4547961841 \wedge x < 24.6690936197$$
$$x > 25.5963888377 \wedge x < 27.8106862733$$
$$x > 30.9522789269 \wedge x < 31.8795741449$$
$$x > 34.0938715805 \wedge x < 38.1627594521$$
$$x > 40.3770568877 \wedge x < 41.3043521057$$
$$x > 44.4459447593 \wedge x < 46.6602421948$$
$$x > 47.5875374128 \wedge x < 49.8018348484$$
$$x > 52.943427502 \wedge x < 53.87072272$$
$$x > 56.0850201556 \wedge x < 60.1539080272$$
$$x > 62.3682054628 \wedge x < 63.2955006808$$
$$x > 66.4370933344 \wedge x < 68.65139077$$
$$x > 69.578685988 \wedge x < 71.7929834236$$
$$x > 74.9345760772 \wedge x < 75.8618712952$$
$$x > 78.0761687307 \wedge x < 81.2177613843$$
$$x > 82.1450566023 \wedge x < 84.3593540379$$
$$x > 85.2866492559 \wedge x < 88.4282419095$$
$$x > 90.6425393451 \wedge x < 91.5698345631$$
$$x > 93.7841319987 \wedge x < 96.9257246523$$
$$x > 97.8530198703 \wedge x < 100.067317306$$

Быстрый ответ

And(x < atan(1/2), -atan(1/2) < x)

$$x < \operatorname{atan}{\left (\frac{1}{2} \right )} \wedge - \operatorname{atan}{\left (\frac{1}{2} \right )} < x$$

Быстрый ответ 2

(-atan(1/2), atan(1/2))

$$x \in \left(- \operatorname{atan}{\left (\frac{1}{2} \right )}, \operatorname{atan}{\left (\frac{1}{2} \right )}\right)$$