4^x-5*2^x<=-4 (неравенство)

Укажите решение неравенства: 4^x-5*2^x<=-4 (множество решений неравенства)

Вы ввели

 x      x      
4  - 5*2  <= -4

$$- 5 \cdot 2^{x} + 4^{x} \leq -4$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$- 5 \cdot 2^{x} + 4^{x} \leq -4$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$- 5 \cdot 2^{x} + 4^{x} = -4$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$- 5 \cdot 2^{x} + 4^{x} = -4$$
или
$$- 5 \cdot 2^{x} + 4^{x} + 4 = 0$$
Сделаем замену
$$v = 2^{x}$$
получим
$$v^{2} - 5 v + 4 = 0$$
или
$$v^{2} - 5 v + 4 = 0$$
Это уравнение вида

a*v^2 + b*v + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -5$$
$$c = 4$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-5)^2 - 4 * (1) * (4) = 9

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$v_{1} = 4$$
$$v_{2} = 1$$
делаем обратную замену
$$2^{x} = v$$
или
$$x = \frac{\log{\left (v \right )}}{\log{\left (2 \right )}}$$
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 4$$
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 4$$
Данные корни
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 4$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{9}{10}$$
=
$$\frac{9}{10}$$
подставляем в выражение
$$- 5 \cdot 2^{x} + 4^{x} \leq -4$$

 9/10      9/10      
4     - 5*2     <= -4

     9/10      4/5      
- 5*2     + 2*2    <= -4
      

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \leq 1$$

 _____           _____          
      \         /
-------•-------•-------
       x1      x2

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x \leq 1$$
$$x \geq 4$$

Быстрый ответ

And(0 <= x, x <= 2)

$$0 \leq x \wedge x \leq 2$$

Быстрый ответ 2

[0, 2]

$$x \in \left[0, 2\right]$$

График