4^x-7*2^x+10<=0 (неравенство)

Укажите решение неравенства: 4^x-7*2^x+10<=0 (множество решений неравенства)

Вы ввели

 x      x          
4  - 7*2  + 10 <= 0

$$- 7 \cdot 2^{x} + 4^{x} + 10 \leq 0$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$- 7 \cdot 2^{x} + 4^{x} + 10 \leq 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$- 7 \cdot 2^{x} + 4^{x} + 10 = 0$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$- 7 \cdot 2^{x} + 4^{x} + 10 = 0$$
или
$$\left(- 7 \cdot 2^{x} + 4^{x} + 10\right) + 0 = 0$$
Сделаем замену
$$v = 2^{x}$$
получим
$$v^{2} - 7 v + 10 = 0$$
или
$$v^{2} - 7 v + 10 = 0$$
Это уравнение вида

a*v^2 + b*v + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -7$$
$$c = 10$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-7)^2 - 4 * (1) * (10) = 9

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$v_{1} = 5$$
Упростить
$$v_{2} = 2$$
Упростить
делаем обратную замену
$$2^{x} = v$$
или
$$x = \frac{\log{\left(v \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 5$$
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 5$$
Данные корни
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 5$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + 2$$
=
$$\frac{19}{10}$$
подставляем в выражение
$$- 7 \cdot 2^{x} + 4^{x} + 10 \leq 0$$
$$- 7 \cdot 2^{\frac{19}{10}} + 10 + 4^{\frac{19}{10}} \leq 0$$

         9/10      4/5     
10 - 14*2     + 8*2    <= 0
     

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \leq 2$$

 _____           _____          
      \         /
-------•-------•-------
       x_1      x_2

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x \leq 2$$
$$x \geq 5$$

Быстрый ответ

   /             log(5)\
And|1 <= x, x <= ------|
   \             log(2)/

$$1 \leq x \wedge x \leq \frac{\log{\left(5 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$

Быстрый ответ 2

    log(5) 
[1, ------]
    log(2) 

$$x\ in\ \left[1, \frac{\log{\left(5 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}\right]$$

График