4^x+4/(4^x)>4 (неравенство)

Укажите решение неравенства: 4^x+4/(4^x)>4 (множество решений неравенства)

Вы ввели

 x   4     
4  + -- > 4
      x    
     4     

$$4^{x} + \frac{4}{4^{x}} > 4$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$4^{x} + \frac{4}{4^{x}} > 4$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$4^{x} + \frac{4}{4^{x}} = 4$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$4^{x} + \frac{4}{4^{x}} = 4$$
или
$$\left(4^{x} + \frac{4}{4^{x}}\right) - 4 = 0$$
Сделаем замену
$$v = \left(\frac{1}{4}\right)^{x}$$
получим
$$4 v - 4 + \frac{1}{v} = 0$$
или
$$4 v - 4 + \frac{1}{v} = 0$$
делаем обратную замену
$$\left(\frac{1}{4}\right)^{x} = v$$
или
$$x = - \frac{\log{\left(v \right)}}{\log{\left(4 \right)}}$$
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
$$x_{2} = \frac{1}{2} + \frac{i \pi}{\log{\left(2 \right)}}$$
Исключаем комплексные решения:
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
Данные корни
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{1}{2}$$
=
$$\frac{2}{5}$$
подставляем в выражение
$$4^{x} + \frac{4}{4^{x}} > 4$$
$$4^{\frac{2}{5}} + \frac{4}{4^{\frac{2}{5}}} > 4$$

 4/5     5 ___    
2    + 2*\/ 2  > 4
    

значит решение неравенства будет при:
$$x < \frac{1}{2}$$

 _____          
      \    
-------ο-------
       x_1

Быстрый ответ

     log(2)
x != ------
     log(4)

log(2) x != ------ log(4)

Быстрый ответ 2

      log(2)     log(2)     
(-oo, ------) U (------, oo)
      log(4)     log(4)     

$$x\ in\ \left(-\infty, \frac{\log{\left(2 \right)}}{\log{\left(4 \right)}}\right) \cup \left(\frac{\log{\left(2 \right)}}{\log{\left(4 \right)}}, \infty\right)$$

График