4^x+1>8 (неравенство)

Укажите решение неравенства: 4^x+1>8 (множество решений неравенства)

Вы ввели

 x        
4  + 1 > 8

$$4^{x} + 1 > 8$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$4^{x} + 1 > 8$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$4^{x} + 1 = 8$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$4^{x} + 1 = 8$$
или
$$4^{x} + 1 - 8 = 0$$
или
$$4^{x} = 7$$
или
$$4^{x} = 7$$
- это простейшее показательное ур-ние
Сделаем замену
$$v = 4^{x}$$
получим
$$v - 7 = 0$$
или
$$v - 7 = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без v)
из левой части в правую, получим:
$$v = 7$$
делаем обратную замену
$$4^{x} = v$$
или
$$x = \frac{\log{\left (v \right )}}{\log{\left (4 \right )}}$$
$$x_{1} = 7$$
$$x_{1} = 7$$
Данные корни
$$x_{1} = 7$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{69}{10}$$
=
$$\frac{69}{10}$$
подставляем в выражение
$$4^{x} + 1 > 8$$
$$1 + 4^{\frac{69}{10}} > 8$$

          4/5    
1 + 8192*2    > 8
    

значит решение неравенства будет при:
$$x < 7$$

 _____          
      \    
-------ο-------
       x1

Быстрый ответ

   /         log(7)     \
And|x < oo, -------- < x|
   \        2*log(2)    /

$$x < \infty \wedge \frac{\log{\left (7 \right )}}{2 \log{\left (2 \right )}} < x$$

Быстрый ответ 2

  log(7)      
(--------, oo)
 2*log(2)     

$$x \in \left(\frac{\log{\left (7 \right )}}{2 \log{\left (2 \right )}}, \infty\right)$$