9*x^2-6*x*y-4*y^2>0 (неравенство)

Укажите решение неравенства: 9*x^2-6*x*y-4*y^2>0 (множество решений неравенства)

Вы ввели

   2              2    
9*x  - 6*x*y - 4*y  > 0

$$9 x^{2} - 6 x y - 4 y^{2} > 0$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$- 4 y^{2} + 9 x^{2} - 6 x y > 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$- 4 y^{2} + 9 x^{2} - 6 x y = 0$$
Решаем:
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 9$$
$$b = - 6 y$$
$$c = - 4 y^{2}$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-6*y)^2 - 4 * (9) * (-4*y^2) = 180*y^2

Уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = \frac{y}{3} + \frac{\sqrt{5} \sqrt{y^{2}}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{y}{3} - \frac{\sqrt{5} \sqrt{y^{2}}}{3}$$
$$x_{1} = \frac{y}{3} + \frac{\sqrt{5} \sqrt{y^{2}}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{y}{3} - \frac{\sqrt{5} \sqrt{y^{2}}}{3}$$
$$x_{1} = \frac{y}{3} + \frac{\sqrt{5} \sqrt{y^{2}}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{y}{3} - \frac{\sqrt{5} \sqrt{y^{2}}}{3}$$
Данные корни
$$x_{1} = \frac{y}{3} + \frac{\sqrt{5} \sqrt{y^{2}}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{y}{3} - \frac{\sqrt{5} \sqrt{y^{2}}}{3}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{y}{3} + \frac{\sqrt{5} \sqrt{y^{2}}}{3} + - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{y}{3} + \frac{\sqrt{5} \sqrt{y^{2}}}{3} - \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$- 4 y^{2} + 9 x^{2} - 6 x y > 0$$

                          2                                          
  /             ____     \      /             ____     \             
  |      ___   /  2      |      |      ___   /  2      |             
  |y   \/ 5 *\/  y     1 |      |y   \/ 5 *\/  y     1 |        2    
9*|- + ------------- - --|  - 6*|- + ------------- - --|*y - 4*y  > 0
  \3         3         10/      \3         3         10/             

                                     2                                      
           /                    ____\                                       
           |             ___   /  2 |      /                       ____\    
     2     |  1    y   \/ 5 *\/  y  |      |  3             ___   /  2 | > 0
- 4*y  + 9*|- -- + - + -------------|  - y*|- - + 2*y + 2*\/ 5 *\/  y  |    
           \  10   3         3      /      \  5                        /    
    

Тогда
$$x < \frac{y}{3} + \frac{\sqrt{5} \sqrt{y^{2}}}{3}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > \frac{y}{3} + \frac{\sqrt{5} \sqrt{y^{2}}}{3} \wedge x < \frac{y}{3} - \frac{\sqrt{5} \sqrt{y^{2}}}{3}$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x1      x2