Решение неравенств/ 9^log(x)<=4/3

9^log(x)<=4/3 (неравенство)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

Примеры
В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: 9^log(x)<=4/3 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели [src]
     log(x)       
9       <= 4/3
    $$9^{\log{\left (x \right )}} \leq \frac{4}{3}$$
    Подробное решение
    Дано неравенство:
    $$9^{\log{\left (x \right )}} \leq \frac{4}{3}$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$9^{\log{\left (x \right )}} = \frac{4}{3}$$
    Решаем:
    Дано уравнение
    $$9^{\log{\left (x \right )}} = \frac{4}{3}$$
    преобразуем
    $$9^{\log{\left (x \right )}} - \frac{4}{3} = 0$$
    $$9^{\log{\left (x \right )}} - \frac{4}{3} = 0$$
    Сделаем замену
    $$w = \log{\left (x \right )}$$
    $$9^{w} - \frac{4}{3} = 0$$
    или
    $$9^{w} - \frac{4}{3} = 0$$
    или
    $$9^{w} = \frac{4}{3}$$
    или
    $$9^{w} = \frac{4}{3}$$
    - это простейшее показательное ур-ние
    Сделаем замену
    $$v = 9^{w}$$
    получим
    $$v - \frac{4}{3} = 0$$
    или
    $$v - \frac{4}{3} = 0$$
    Переносим свободные слагаемые (без v)
    из левой части в правую, получим:
    $$v = \frac{4}{3}$$
    Получим ответ: v = 4/3
    делаем обратную замену
    $$9^{w} = v$$
    или
    $$w = \frac{\log{\left (v \right )}}{\log{\left (9 \right )}}$$
    Тогда, окончательный ответ
    $$w_{1} = \frac{\log{\left (\frac{4}{3} \right )}}{\log{\left (9 \right )}} = \frac{1}{\log{\left (9 \right )}} \left(- \log{\left (3 \right )} + \log{\left (4 \right )}\right)$$
    делаем обратную замену
    $$\log{\left (x \right )} = w$$
    Дано уравнение
    $$\log{\left (x \right )} = w$$
    $$\log{\left (x \right )} = w$$
    Это уравнение вида:
    log(v)=p

    По определению log
    v=e^p

    тогда
         w
     -
     1
x = e

    упрощаем
    $$x = e^{w}$$
    подставляем w:
    $$x_{1} = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}} 2^{\frac{1}{\log{\left (3 \right )}}}$$
    $$x_{1} = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}} 2^{\frac{1}{\log{\left (3 \right )}}}$$
    Данные корни
    $$x_{1} = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}} 2^{\frac{1}{\log{\left (3 \right )}}}$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} \leq x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$- \frac{1}{10} + \frac{1}{\sqrt{e^{1}}} 2^{\frac{1}{\log{\left (3 \right )}}}$$
    =
    $$- \frac{1}{10} + \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}} 2^{\frac{1}{\log{\left (3 \right )}}}$$
    подставляем в выражение
    $$9^{\log{\left (x \right )}} \leq \frac{4}{3}$$
    $$9^{\log{\left (- \frac{1}{10} + \frac{1}{\sqrt{e^{1}}} 2^{\frac{1}{\log{\left (3 \right )}}} \right )}} \leq \frac{4}{3}$$
        /          1         \       
    |        ------      |       
    |  1     log(3)  -1/2|       
 log|- -- + 2      *e    | <= 4/3
    \  10                /       
9

    значит решение неравенства будет при:
    $$x \leq \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}} 2^{\frac{1}{\log{\left (3 \right )}}}$$
     _____          
      \    
-------•-------
       x1
    Решение неравенства на графике
    Быстрый ответ [src]
       /        1                  \
   |      ------               |
   |      log(3)  -1/2         |
And\x <= 2      *e    , -oo < x/
    $$x \leq \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}} 2^{\frac{1}{\log{\left (3 \right )}}} \wedge -\infty < x$$
    Быстрый ответ 2 [src]
             1          
       ------       
       log(3)  -1/2 
(-oo, 2      *e    ]
    $$x \in \left(-\infty, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}} 2^{\frac{1}{\log{\left (3 \right )}}}\right]$$