19*4^x+4^(-x)<=20 (неравенство)

Укажите решение неравенства: 19*4^x+4^(-x)<=20 (множество решений неравенства)

Вы ввели

    x    -x      
19*4  + 4   <= 20

$$19 \cdot 4^{x} + 4^{- x} \leq 20$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$19 \cdot 4^{x} + 4^{- x} \leq 20$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$19 \cdot 4^{x} + 4^{- x} = 20$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$19 \cdot 4^{x} + 4^{- x} = 20$$
или
$$\left(19 \cdot 4^{x} + 4^{- x}\right) - 20 = 0$$
Сделаем замену
$$v = \left(\frac{1}{4}\right)^{x}$$
получим
$$v - 20 + \frac{19}{v} = 0$$
или
$$v - 20 + \frac{19}{v} = 0$$
делаем обратную замену
$$\left(\frac{1}{4}\right)^{x} = v$$
или
$$x = - \frac{\log{\left(v \right)}}{\log{\left(4 \right)}}$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{- \frac{\log{\left(19 \right)}}{2} + i \pi}{\log{\left(2 \right)}}$$
$$x_{3} = - \frac{\log{\left(19 \right)}}{2 \log{\left(2 \right)}}$$
$$x_{4} = \frac{i \pi}{\log{\left(2 \right)}}$$
Исключаем комплексные решения:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\log{\left(19 \right)}}{2 \log{\left(2 \right)}}$$
Данные корни
$$x_{2} = - \frac{\log{\left(19 \right)}}{2 \log{\left(2 \right)}}$$
$$x_{1} = 0$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{\log{\left(19 \right)}}{2 \log{\left(2 \right)}} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{\log{\left(19 \right)}}{2 \log{\left(2 \right)}} - \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$19 \cdot 4^{x} + 4^{- x} \leq 20$$
$$19 \cdot 4^{- \frac{\log{\left(19 \right)}}{2 \log{\left(2 \right)}} - \frac{1}{10}} + 4^{- (- \frac{\log{\left(19 \right)}}{2 \log{\left(2 \right)}} - \frac{1}{10})} \leq 20$$

 1    log(19)          1    log(19)       
 -- + --------       - -- - --------      
 10   2*log(2)         10   2*log(2) <= 20
4              + 19*4                     
      

но

 1    log(19)          1    log(19)       
 -- + --------       - -- - --------      
 10   2*log(2)         10   2*log(2) >= 20
4              + 19*4                     
      

Тогда
$$x \leq - \frac{\log{\left(19 \right)}}{2 \log{\left(2 \right)}}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \geq - \frac{\log{\left(19 \right)}}{2 \log{\left(2 \right)}} \wedge x \leq 0$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x_2      x_1

Быстрый ответ

   /        -log(19)      \
And|x <= 0, --------- <= x|
   \          log(4)      /

$$x \leq 0 \wedge - \frac{\log{\left(19 \right)}}{\log{\left(4 \right)}} \leq x$$

Быстрый ответ 2

 -log(19)     
[---------, 0]
   log(4)     

$$x\ in\ \left[- \frac{\log{\left(19 \right)}}{\log{\left(4 \right)}}, 0\right]$$

График