2/(x-1)>=x (неравенство)

Укажите решение неравенства: 2/(x-1)>=x (множество решений неравенства)

Вы ввели

  2       
----- >= x
x - 1     

$$\frac{2}{x - 1} \geq x$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\frac{2}{x - 1} \geq x$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\frac{2}{x - 1} = x$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$\frac{2}{x - 1} = x$$
Домножим обе части ур-ния на знаменатели:
и -1 + x
получим:
$$\frac{2}{x - 1} \left(x - 1\right) = x \left(x - 1\right)$$
$$2 = x^{2} - x$$
Перенесём правую часть уравнения в
левую часть уравнения со знаком минус.

Уравнение превратится из
$$2 = x^{2} - x$$
в
$$- x^{2} + x + 2 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = -1$$
$$b = 1$$
$$c = 2$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(1)^2 - 4 * (-1) * (2) = 9

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 2$$
Данные корни
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 2$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{11}{10}$$
=
$$- \frac{11}{10}$$
подставляем в выражение
$$\frac{2}{x - 1} \geq x$$
$$\frac{2}{- \frac{11}{10} - 1} \geq - \frac{11}{10}$$

-20     -11 
---- >= ----
 21      10 

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \leq -1$$

 _____           _____          
      \         /
-------•-------•-------
       x1      x2

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x \leq -1$$
$$x \geq 2$$

Быстрый ответ

Or(And(x <= -1, -oo < x), And(x <= 2, 1 < x))

$$\left(x \leq -1 \wedge -\infty < x\right) \vee \left(x \leq 2 \wedge 1 < x\right)$$

Быстрый ответ 2

(-oo, -1] U (1, 2]

$$x \in \left(-\infty, -1\right] \cup \left(1, 2\right]$$

График