2*sqrt(2)*2^x-3>=1/2 (неравенство)

Укажите решение неравенства: 2*sqrt(2)*2^x-3>=1/2 (множество решений неравенства)

Вы ввели

    ___  x           
2*\/ 2 *2  - 3 >= 1/2

$$2 \sqrt{2} \cdot 2^{x} - 3 \geq \frac{1}{2}$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$2 \sqrt{2} \cdot 2^{x} - 3 \geq \frac{1}{2}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$2 \sqrt{2} \cdot 2^{x} - 3 = \frac{1}{2}$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$2 \sqrt{2} \cdot 2^{x} - 3 = \frac{1}{2}$$
или
$$\left(2 \sqrt{2} \cdot 2^{x} - 3\right) - \frac{1}{2} = 0$$
или
$$2 \sqrt{2} \cdot 2^{x} = \frac{7}{2}$$
или
$$2^{x} = \frac{7 \sqrt{2}}{8}$$
- это простейшее показательное ур-ние
Сделаем замену
$$v = 2^{x}$$
получим
$$v - \frac{7 \sqrt{2}}{8} = 0$$
или
$$v - \frac{7 \sqrt{2}}{8} = 0$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

v - 7*sqrt2/8 = 0

Разделим обе части ур-ния на (v - 7*sqrt(2)/8)/v

v = 0 / ((v - 7*sqrt(2)/8)/v)

делаем обратную замену
$$2^{x} = v$$
или
$$x = \frac{\log{\left(v \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$
$$x_{1} = \frac{7 \sqrt{2}}{8}$$
$$x_{1} = \frac{7 \sqrt{2}}{8}$$
Данные корни
$$x_{1} = \frac{7 \sqrt{2}}{8}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{7 \sqrt{2}}{8}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{7 \sqrt{2}}{8}$$
подставляем в выражение
$$2 \sqrt{2} \cdot 2^{x} - 3 \geq \frac{1}{2}$$
$$\left(-1\right) 3 + 2 \sqrt{2} \cdot 2^{- \frac{1}{10} + \frac{7 \sqrt{2}}{8}} \geq \frac{1}{2}$$

                         ___       
                1    7*\/ 2        
              - -- + ------- >= 1/2
         ___    10      8          
-3 + 2*\/ 2 *2                     

значит решение неравенства будет при:
$$x \leq \frac{7 \sqrt{2}}{8}$$

 _____          
      \    
-------•-------
       x_1

Быстрый ответ

   /   /    ___\             \
   |   |7*\/ 2 |             |
   |log|-------|             |
   |   \   8   /             |
And|------------ <= x, x < oo|
   \   log(2)                /

$$\frac{\log{\left(\frac{7 \sqrt{2}}{8} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} \leq x \wedge x < \infty$$

Быстрый ответ 2

    /    ___\     
    |7*\/ 2 |     
 log|-------|     
    \   8   /     
[------------, oo)
    log(2)        

$$x\ in\ \left[\frac{\log{\left(\frac{7 \sqrt{2}}{8} \right)}}{\log{\left(2 \right)}}, \infty\right)$$

График