2*sin(x)^2-3*sin(x)+1<=0 (неравенство)

Укажите решение неравенства: 2*sin(x)^2-3*sin(x)+1<=0 (множество решений неравенства)

Вы ввели

     2                       
2*sin (x) - 3*sin(x) + 1 <= 0

$$2 \sin^{2}{\left(x \right)} - 3 \sin{\left(x \right)} + 1 \leq 0$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$2 \sin^{2}{\left(x \right)} - 3 \sin{\left(x \right)} + 1 \leq 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$2 \sin^{2}{\left(x \right)} - 3 \sin{\left(x \right)} + 1 = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$2 \sin^{2}{\left(x \right)} - 3 \sin{\left(x \right)} + 1 = 0$$
преобразуем
$$2 \sin^{2}{\left(x \right)} - 3 \sin{\left(x \right)} + 1 = 0$$
$$\left(2 \sin^{2}{\left(x \right)} - 3 \sin{\left(x \right)} + 1\right) + 0 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \sin{\left(x \right)}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 2$$
$$b = -3$$
$$c = 1$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-3)^2 - 4 * (2) * (1) = 1

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = 1$$
Упростить
$$w_{2} = \frac{1}{2}$$
Упростить
делаем обратную замену
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
Дано уравнение
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(1 \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \frac{\pi}{6}$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(1 \right)} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \frac{\pi}{2}$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{1} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{1} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \frac{5 \pi}{6}$$
Данные корни
$$x_{1} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \frac{5 \pi}{6}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{\pi}{6}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{\pi}{6}$$
подставляем в выражение
$$2 \sin^{2}{\left(x \right)} - 3 \sin{\left(x \right)} + 1 \leq 0$$
$$- 3 \sin{\left(- \frac{1}{10} + \frac{\pi}{6} \right)} + 2 \sin^{2}{\left(- \frac{1}{10} + \frac{\pi}{6} \right)} + 1 \leq 0$$

         /1    pi\        2/1    pi\     
1 - 3*cos|-- + --| + 2*cos |-- + --| <= 0
         \10   3 /         \10   3 /     

но

         /1    pi\        2/1    pi\     
1 - 3*cos|-- + --| + 2*cos |-- + --| >= 0
         \10   3 /         \10   3 /     

Тогда
$$x \leq \frac{\pi}{6}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \geq \frac{\pi}{6} \wedge x \leq \frac{\pi}{2}$$

         _____           _____  
        /     \         /
-------•-------•-------•-------
       x_1      x_2      x_3

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x \geq \frac{\pi}{6} \wedge x \leq \frac{\pi}{2}$$
$$x \geq \frac{5 \pi}{6}$$

Быстрый ответ

   /pi            5*pi\
And|-- <= x, x <= ----|
   \6              6  /

$$\frac{\pi}{6} \leq x \wedge x \leq \frac{5 \pi}{6}$$

Быстрый ответ 2

 pi  5*pi 
[--, ----]
 6    6   

$$x\ in\ \left[\frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6}\right]$$

График