2^(|x|-1)<8 (неравенство)

Укажите решение неравенства: 2^(|x|-1)<8 (множество решений неравенства)

Вы ввели

 |x| - 1    
2        < 8

$$2^{\left|{x}\right| - 1} < 8$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$2^{\left|{x}\right| - 1} < 8$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$2^{\left|{x}\right| - 1} = 8$$
Решаем:
Дано уравнение
$$2^{\left|{x}\right| - 1} = 8$$
преобразуем
$$2^{\left|{x}\right| - 1} - 8 = 0$$
$$2^{\left|{x}\right| - 1} - 8 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \left|{x}\right|$$
$$2^{w - 1} - 8 = 0$$
или
$$2^{w - 1} - 8 = 0$$
или
$$\frac{2^{w}}{2} = 8$$
или
$$2^{w} = 16$$
- это простейшее показательное ур-ние
Сделаем замену
$$v = 2^{w}$$
получим
$$v - 16 = 0$$
или
$$v - 16 = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без v)
из левой части в правую, получим:
$$v = 16$$
Получим ответ: v = 16
делаем обратную замену
$$2^{w} = v$$
или
$$w = \frac{\log{\left (v \right )}}{\log{\left (2 \right )}}$$
Тогда, окончательный ответ
$$w_{1} = \frac{\log{\left (16 \right )}}{\log{\left (2 \right )}} = 4$$
делаем обратную замену
$$\left|{x}\right| = w$$
подставляем w:
$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = -4$$
$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = -4$$
Данные корни
$$x_{2} = -4$$
$$x_{1} = 4$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$-4.1$$
=
$$-4.1$$
подставляем в выражение
$$2^{\left|{x}\right| - 1} < 8$$
$$2^{-1 + \left|{-4.1}\right|} < 8$$

8.57418770029034 < 8

но

8.57418770029034 > 8

Тогда
$$x < -4$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > -4 \wedge x < 4$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x2      x1

Быстрый ответ

And(-4 < x, x < 4)

$$-4 < x \wedge x < 4$$

Быстрый ответ 2

(-4, 4)

$$x \in \left(-4, 4\right)$$