2^x+1<32 (неравенство)

Укажите решение неравенства: 2^x+1<32 (множество решений неравенства)

Вы ввели

 x         
2  + 1 < 32

$$2^{x} + 1 < 32$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$2^{x} + 1 < 32$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$2^{x} + 1 = 32$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$2^{x} + 1 = 32$$
или
$$\left(2^{x} + 1\right) - 32 = 0$$
или
$$2^{x} = 31$$
или
$$2^{x} = 31$$
- это простейшее показательное ур-ние
Сделаем замену
$$v = 2^{x}$$
получим
$$v - 31 = 0$$
или
$$v - 31 = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без v)
из левой части в правую, получим:
$$v = 31$$
делаем обратную замену
$$2^{x} = v$$
или
$$x = \frac{\log{\left(v \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$
$$x_{1} = 31$$
$$x_{1} = 31$$
Данные корни
$$x_{1} = 31$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + 31$$
=
$$\frac{309}{10}$$
подставляем в выражение
$$2^{x} + 1 < 32$$
$$1 + 2^{\frac{309}{10}} < 32$$

                9/10     
1 + 1073741824*2     < 32
     

но

                9/10     
1 + 1073741824*2     > 32
     

Тогда
$$x < 31$$
не выполняется
значит решение неравенства будет при:
$$x > 31$$

         _____  
        /
-------ο-------
       x_1

Быстрый ответ

    log(31)
x < -------
     log(2)

$$x < \frac{\log{\left(31 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$

Быстрый ответ 2

      log(31) 
(-oo, -------)
       log(2) 

$$x\ in\ \left(-\infty, \frac{\log{\left(31 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}\right)$$

График