2^x+17*2^(3-x)<=25 (неравенство)

Укажите решение неравенства: 2^x+17*2^(3-x)<=25 (множество решений неравенства)

Вы ввели

 x       3 - x      
2  + 17*2      <= 25

$$2^{x} + 17 \cdot 2^{3 - x} \leq 25$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$2^{x} + 17 \cdot 2^{3 - x} \leq 25$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$2^{x} + 17 \cdot 2^{3 - x} = 25$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$2^{x} + 17 \cdot 2^{3 - x} = 25$$
или
$$\left(2^{x} + 17 \cdot 2^{3 - x}\right) - 25 = 0$$
Сделаем замену
$$v = \left(\frac{1}{2}\right)^{x}$$
получим
$$136 v - 25 + \frac{1}{v} = 0$$
или
$$136 v - 25 + \frac{1}{v} = 0$$
делаем обратную замену
$$\left(\frac{1}{2}\right)^{x} = v$$
или
$$x = - \frac{\log{\left(v \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$
$$x_{1} = 4.08746284125034$$
$$x_{2} = 3$$
$$x_{1} = 4.08746284125034$$
$$x_{2} = 3$$
Данные корни
$$x_{2} = 3$$
$$x_{1} = 4.08746284125034$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + 3$$
=
$$2.9$$
подставляем в выражение
$$2^{x} + 17 \cdot 2^{3 - x} \leq 25$$
$$2^{2.9} + 17 \cdot 2^{3 - 2.9} \leq 25$$

25.6844127954114 <= 25

но

25.6844127954114 >= 25

Тогда
$$x \leq 3$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \geq 3 \wedge x \leq 4.08746284125034$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x2      x1

Быстрый ответ

   /     log(17)  log(8)     \
And|x <= -------, ------ <= x|
   \      log(2)  log(2)     /

$$x \leq \frac{\log{\left(17 \right)}}{\log{\left(2 \right)}} \wedge \frac{\log{\left(8 \right)}}{\log{\left(2 \right)}} \leq x$$

Быстрый ответ 2

 log(8)  log(17) 
[------, -------]
 log(2)   log(2) 

$$x\ in\ \left[\frac{\log{\left(8 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}, \frac{\log{\left(17 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}\right]$$

График