2^x+80*2^(4-x)<=261 (неравенство)

Укажите решение неравенства: 2^x+80*2^(4-x)<=261 (множество решений неравенства)

Вы ввели

 x       4 - x       
2  + 80*2      <= 261

$$2^{x} + 80 \cdot 2^{4 - x} \leq 261$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$2^{x} + 80 \cdot 2^{4 - x} \leq 261$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$2^{x} + 80 \cdot 2^{4 - x} = 261$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$2^{x} + 80 \cdot 2^{4 - x} = 261$$
или
$$\left(2^{x} + 80 \cdot 2^{4 - x}\right) - 261 = 0$$
Сделаем замену
$$v = \left(\frac{1}{2}\right)^{x}$$
получим
$$1280 v - 261 + \frac{1}{v} = 0$$
или
$$1280 v - 261 + \frac{1}{v} = 0$$
делаем обратную замену
$$\left(\frac{1}{2}\right)^{x} = v$$
или
$$x = - \frac{\log{\left(v \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$
$$x_{1} = 8$$
$$x_{2} = 2.32192809488736$$
$$x_{1} = 8$$
$$x_{2} = 2.32192809488736$$
Данные корни
$$x_{2} = 2.32192809488736$$
$$x_{1} = 8$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + 2.32192809488736$$
=
$$2.22192809488736$$
подставляем в выражение
$$2^{x} + 80 \cdot 2^{4 - x} \leq 261$$
$$2^{2.22192809488736} + 80 \cdot 2^{4 - 2.22192809488736} \leq 261$$

279.039171366975 <= 261

но

279.039171366975 >= 261

Тогда
$$x \leq 2.32192809488736$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \geq 2.32192809488736 \wedge x \leq 8$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x_2      x_1

Быстрый ответ

   /     log(256)  log(5)     \
And|x <= --------, ------ <= x|
   \      log(2)   log(2)     /

$$x \leq \frac{\log{\left(256 \right)}}{\log{\left(2 \right)}} \wedge \frac{\log{\left(5 \right)}}{\log{\left(2 \right)}} \leq x$$

Быстрый ответ 2

 log(5)  log(256) 
[------, --------]
 log(2)   log(2)  

$$x\ in\ \left[\frac{\log{\left(5 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}, \frac{\log{\left(256 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}\right]$$

График