2^x+x>0 (неравенство)

Укажите решение неравенства: 2^x+x>0 (множество решений неравенства)

Вы ввели

 x        
2  + x > 0

$$2^{x} + x > 0$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$2^{x} + x > 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$2^{x} + x = 0$$
Решаем:
$$x_{1} = - \frac{\operatorname{LambertW}{\left (\log{\left (2 \right )} \right )}}{\log{\left (2 \right )}}$$
$$x_{1} = - \frac{\operatorname{LambertW}{\left (\log{\left (2 \right )} \right )}}{\log{\left (2 \right )}}$$
Данные корни
$$x_{1} = - \frac{\operatorname{LambertW}{\left (\log{\left (2 \right )} \right )}}{\log{\left (2 \right )}}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=

  LambertW(log(2))   1 
- ---------------- - --
         1           10
      log (2)          

=
$$- \frac{\operatorname{LambertW}{\left (\log{\left (2 \right )} \right )}}{\log{\left (2 \right )}} - \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$2^{x} + x > 0$$

   LambertW(log(2))   1                               
 - ---------------- - --                              
          1           10                              
       log (2)               LambertW(log(2))   1     
2                        + - ---------------- - -- > 0
                                    1           10    
                                 log (2)              

          1    LambertW(log(2))                       
        - -- - ----------------                       
  1       10        log(2)        LambertW(log(2)) > 0
- -- + 2                        - ----------------    
  10                                   log(2)         

Тогда
$$x < - \frac{\operatorname{LambertW}{\left (\log{\left (2 \right )} \right )}}{\log{\left (2 \right )}}$$
не выполняется
значит решение неравенства будет при:
$$x > - \frac{\operatorname{LambertW}{\left (\log{\left (2 \right )} \right )}}{\log{\left (2 \right )}}$$

         _____  
        /
-------ο-------
       x1

Быстрый ответ

   /        -LambertW(log(2))     \
And|x < oo, ------------------ < x|
   \              log(2)          /

$$x < \infty \wedge - \frac{\operatorname{LambertW}{\left (\log{\left (2 \right )} \right )}}{\log{\left (2 \right )}} < x$$

Быстрый ответ 2

 -LambertW(log(2))      
(------------------, oo)
       log(2)           

$$x \in \left(- \frac{\operatorname{LambertW}{\left (\log{\left (2 \right )} \right )}}{\log{\left (2 \right )}}, \infty\right)$$

График