2^x*3^(1/x)<6 (неравенство)

Укажите решение неравенства: 2^x*3^(1/x)<6 (множество решений неравенства)

Вы ввели

 x x ___    
2 *\/ 3  < 6

$$2^{x} 3^{\frac{1}{x}} < 6$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$2^{x} 3^{\frac{1}{x}} < 6$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$2^{x} 3^{\frac{1}{x}} = 6$$
Решаем:
$$x_{1} = \frac{1}{2 \log{\left (2 \right )}} \left(- \sqrt{- \log{\left (3^{\log{\left (16 \right )}} \right )} + \log^{2}{\left (6 \right )}} + \log{\left (6 \right )}\right)$$
$$x_{2} = \frac{1}{2 \log{\left (2 \right )}} \left(\sqrt{- \log{\left (3^{\log{\left (16 \right )}} \right )} + \log^{2}{\left (6 \right )}} + \log{\left (6 \right )}\right)$$
$$x_{1} = \frac{1}{2 \log{\left (2 \right )}} \left(- \sqrt{- \log{\left (3^{\log{\left (16 \right )}} \right )} + \log^{2}{\left (6 \right )}} + \log{\left (6 \right )}\right)$$
$$x_{2} = \frac{1}{2 \log{\left (2 \right )}} \left(\sqrt{- \log{\left (3^{\log{\left (16 \right )}} \right )} + \log^{2}{\left (6 \right )}} + \log{\left (6 \right )}\right)$$
Данные корни
$$x_{1} = \frac{1}{2 \log{\left (2 \right )}} \left(- \sqrt{- \log{\left (3^{\log{\left (16 \right )}} \right )} + \log^{2}{\left (6 \right )}} + \log{\left (6 \right )}\right)$$
$$x_{2} = \frac{1}{2 \log{\left (2 \right )}} \left(\sqrt{- \log{\left (3^{\log{\left (16 \right )}} \right )} + \log^{2}{\left (6 \right )}} + \log{\left (6 \right )}\right)$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=

     _________________________              
    /    2         / log(16)\               
- \/  log (6) - log\3       /  + log(6)   1 
--------------------------------------- - --
                    1                     10
               2*log (2)                    

=
$$- \frac{1}{10} + \frac{1}{2 \log{\left (2 \right )}} \left(- \sqrt{- \log{\left (3^{\log{\left (16 \right )}} \right )} + \log^{2}{\left (6 \right )}} + \log{\left (6 \right )}\right)$$
подставляем в выражение
$$2^{x} 3^{\frac{1}{x}} < 6$$

                                                                    1                          
                                               --------------------------------------------    
      _________________________                     _________________________                  
     /    2         / log(16)\                     /    2         / log(16)\                   
 - \/  log (6) - log\3       /  + log(6)   1   - \/  log (6) - log\3       /  + log(6)   1     
 --------------------------------------- - --  --------------------------------------- - --    
                     1                     10                      1                     10    
                2*log (2)                                     2*log (2)                        
2                                            *3                                             < 6

                                                                       1                           
                                                 ----------------------------------------------    
             _________________________                       _________________________             
            /    2         / log(16)\                       /    2         / log(16)\              
   1    - \/  log (6) - log\3       /  + log(6)    1    - \/  log (6) - log\3       /  + log(6) < 6
 - -- + ---------------------------------------  - -- + ---------------------------------------    
   10                   2*log(2)                   10                   2*log(2)                   
2                                              *3                                                  
    

но

                                                                       1                           
                                                 ----------------------------------------------    
             _________________________                       _________________________             
            /    2         / log(16)\                       /    2         / log(16)\              
   1    - \/  log (6) - log\3       /  + log(6)    1    - \/  log (6) - log\3       /  + log(6) > 6
 - -- + ---------------------------------------  - -- + ---------------------------------------    
   10                   2*log(2)                   10                   2*log(2)                   
2                                              *3                                                  
    

Тогда
$$x < \frac{1}{2 \log{\left (2 \right )}} \left(- \sqrt{- \log{\left (3^{\log{\left (16 \right )}} \right )} + \log^{2}{\left (6 \right )}} + \log{\left (6 \right )}\right)$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > \frac{1}{2 \log{\left (2 \right )}} \left(- \sqrt{- \log{\left (3^{\log{\left (16 \right )}} \right )} + \log^{2}{\left (6 \right )}} + \log{\left (6 \right )}\right) \wedge x < \frac{1}{2 \log{\left (2 \right )}} \left(\sqrt{- \log{\left (3^{\log{\left (16 \right )}} \right )} + \log^{2}{\left (6 \right )}} + \log{\left (6 \right )}\right)$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x1      x2

Быстрый ответ

  /                        /       _________________________                _________________________             \\
  |                        |      /    2         / log(16)\                /    2         / log(16)\              ||
  |                        |    \/  log (6) - log\3       /  + log(6)  - \/  log (6) - log\3       /  + log(6)    ||
Or|And(-oo < x, x < 0), And|x < -------------------------------------, --------------------------------------- < x||
  \                        \                   2*log(2)                                2*log(2)                   //

$$\left(-\infty < x \wedge x < 0\right) \vee \left(x < \frac{1}{2 \log{\left (2 \right )}} \left(\sqrt{- \log{\left (3^{\log{\left (16 \right )}} \right )} + \log^{2}{\left (6 \right )}} + \log{\left (6 \right )}\right) \wedge \frac{1}{2 \log{\left (2 \right )}} \left(- \sqrt{- \log{\left (3^{\log{\left (16 \right )}} \right )} + \log^{2}{\left (6 \right )}} + \log{\left (6 \right )}\right) < x\right)$$

Быстрый ответ 2

                 _________________________              _________________________          
                /    2         / log(16)\              /    2         / log(16)\           
            - \/  log (6) - log\3       /  + log(6)  \/  log (6) - log\3       /  + log(6) 
(-oo, 0) U (---------------------------------------, -------------------------------------)
                            2*log(2)                                2*log(2)               

$$x \in \left(-\infty, 0\right) \cup \left(\frac{1}{2 \log{\left (2 \right )}} \left(- \sqrt{- \log{\left (3^{\log{\left (16 \right )}} \right )} + \log^{2}{\left (6 \right )}} + \log{\left (6 \right )}\right), \frac{1}{2 \log{\left (2 \right )}} \left(\sqrt{- \log{\left (3^{\log{\left (16 \right )}} \right )} + \log^{2}{\left (6 \right )}} + \log{\left (6 \right )}\right)\right)$$