(20-11*x)*log(5*x-9)*(x^2-4*x+5)<=0 (неравенство)

Укажите решение неравенства: (20-11*x)*log(5*x-9)*(x^2-4*x+5)<=0 (множество решений неравенства)

Вы ввели

                         / 2          \     
(20 - 11*x)*log(5*x - 9)*\x  - 4*x + 5/ <= 0

$$\left(- 11 x + 20\right) \log{\left (5 x - 9 \right )} \left(x^{2} - 4 x + 5\right) \leq 0$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\left(- 11 x + 20\right) \log{\left (5 x - 9 \right )} \left(x^{2} - 4 x + 5\right) \leq 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left(- 11 x + 20\right) \log{\left (5 x - 9 \right )} \left(x^{2} - 4 x + 5\right) = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\left(- 11 x + 20\right) \log{\left (5 x - 9 \right )} \left(x^{2} - 4 x + 5\right) = 0$$
преобразуем
$$- \left(11 x - 20\right) \left(x^{2} - 4 x + 5\right) \log{\left (5 x - 9 \right )} = 0$$
$$\left(- 11 x + 20\right) \left(x^{2} - 4 x + 5\right) \log{\left (5 x - 9 \right )} = 0$$
Сделаем замену
$$w = \log{\left (5 x - 9 \right )}$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

w20+11*x5+x+2+4*x = 0

Приводим подобные слагаемые в левой части ур-ния:

w*(20 - 11*x)*(5 + x^2 - 4*x) = 0

Разделим обе части ур-ния на (20 - 11*x)*(5 + x^2 - 4*x)

w = 0 / ((20 - 11*x)*(5 + x^2 - 4*x))

Получим ответ: w = 0
делаем обратную замену
$$\log{\left (5 x - 9 \right )} = w$$
Дано уравнение
$$\log{\left (5 x - 9 \right )} = w$$
$$\log{\left (5 x - 9 \right )} = w$$
Это уравнение вида:

log(v)=p

По определению log

v=e^p

тогда

           w
           -
           1
5*x - 9 = e 

упрощаем
$$5 x - 9 = e^{w}$$
$$5 x = e^{w} + 9$$
$$x = \frac{e^{w}}{5} + \frac{9}{5}$$
подставляем w:
$$x_{1} = \frac{20}{11}$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{3} = 2 - i$$
$$x_{4} = 2 + i$$
Исключаем комплексные решения:
$$x_{1} = \frac{20}{11}$$
$$x_{2} = 2$$
Данные корни
$$x_{1} = \frac{20}{11}$$
$$x_{2} = 2$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{189}{110}$$
=
$$\frac{189}{110}$$
подставляем в выражение
$$\left(- 11 x + 20\right) \log{\left (5 x - 9 \right )} \left(x^{2} - 4 x + 5\right) \leq 0$$

                             /     2            \     
/     11*189\    /5*189    \ |/189\    4*189    |     
|20 - ------|*log|----- - 9|*||---|  - ----- + 5| <= 0
\      110  /    \ 110     / \\110/     110     /     

  13061*log(22)   13061*log(9)   13061*pi*I     
- ------------- + ------------ + ---------- <= 0
      11000          11000         11000        

Тогда
$$x \leq \frac{20}{11}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \geq \frac{20}{11} \wedge x \leq 2$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x1      x2

Быстрый ответ

  /                         20\
Or|And(2 <= x, x < oo), x = --|
  \                         11/

$$\left(2 \leq x \wedge x < \infty\right) \vee x = \frac{20}{11}$$

Быстрый ответ 2

 20           
{--} U [2, oo)
 11           

$$x \in \left\{\frac{20}{11}\right\} \cup \left[2, \infty\right)$$