25^x-3*5^x-10>0 (неравенство)

Укажите решение неравенства: 25^x-3*5^x-10>0 (множество решений неравенства)

Вы ввели

  x      x         
25  - 3*5  - 10 > 0

$$25^{x} - 3 \cdot 5^{x} - 10 > 0$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$25^{x} - 3 \cdot 5^{x} - 10 > 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$25^{x} - 3 \cdot 5^{x} - 10 = 0$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$25^{x} - 3 \cdot 5^{x} - 10 = 0$$
или
$$\left(25^{x} - 3 \cdot 5^{x} - 10\right) + 0 = 0$$
Сделаем замену
$$v = 5^{x}$$
получим
$$v^{2} - 3 v - 10 = 0$$
или
$$v^{2} - 3 v - 10 = 0$$
Это уравнение вида

a*v^2 + b*v + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -3$$
$$c = -10$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-3)^2 - 4 * (1) * (-10) = 49

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$v_{1} = 5$$
Упростить
$$v_{2} = -2$$
Упростить
делаем обратную замену
$$5^{x} = v$$
или
$$x = \frac{\log{\left(v \right)}}{\log{\left(5 \right)}}$$
$$x_{1} = 5$$
$$x_{2} = -2$$
$$x_{1} = 5$$
$$x_{2} = -2$$
Данные корни
$$x_{2} = -2$$
$$x_{1} = 5$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$-2 - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{21}{10}$$
подставляем в выражение
$$25^{x} - 3 \cdot 5^{x} - 10 > 0$$
$$\left(-1\right) 10 - \frac{3}{5^{\frac{21}{10}}} + \frac{1}{25^{\frac{21}{10}}} > 0$$

         9/10    4/5    
      3*5       5       
-10 - ------- + ---- > 0
        125     3125    
    

Тогда
$$x < -2$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > -2 \wedge x < 5$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x_2      x_1

Быстрый ответ

And(1 < x, x < oo)

$$1 < x \wedge x < \infty$$

Быстрый ответ 2

(1, oo)

$$x\ in\ \left(1, \infty\right)$$

График