Решение неравенств/ 20*log(5*x^2)*25<=3*log(x)*125+7*log(25*x)*25

20*log(5*x^2)*25<=3*log(x)*125+7*log(25*x)*25 (неравенство)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

Примеры
В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: 20*log(5*x^2)*25<=3*log(x)*125+7*log(25*x)*25 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели [src]
          /   2\                                    
20*log\5*x /*25 <= 3*log(x)*125 + 7*log(25*x)*25
    $$25 \cdot 20 \log{\left (5 x^{2} \right )} \leq 125 \cdot 3 \log{\left (x \right )} + 25 \cdot 7 \log{\left (25 x \right )}$$
    Подробное решение
    Дано неравенство:
    $$25 \cdot 20 \log{\left (5 x^{2} \right )} \leq 125 \cdot 3 \log{\left (x \right )} + 25 \cdot 7 \log{\left (25 x \right )}$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$25 \cdot 20 \log{\left (5 x^{2} \right )} = 125 \cdot 3 \log{\left (x \right )} + 25 \cdot 7 \log{\left (25 x \right )}$$
    Решаем:
    $$x_{1} = \frac{5^{\frac{2}{3}}}{5}$$
    $$x_{1} = \frac{5^{\frac{2}{3}}}{5}$$
    Данные корни
    $$x_{1} = \frac{5^{\frac{2}{3}}}{5}$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} \leq x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$- \frac{1}{10} + \frac{5^{\frac{2}{3}}}{5}$$
    =
    $$- \frac{1}{10} + \frac{5^{\frac{2}{3}}}{5}$$
    подставляем в выражение
    $$25 \cdot 20 \log{\left (5 x^{2} \right )} \leq 125 \cdot 3 \log{\left (x \right )} + 25 \cdot 7 \log{\left (25 x \right )}$$
    $$25 \cdot 20 \log{\left (5 \left(- \frac{1}{10} + \frac{5^{\frac{2}{3}}}{5}\right)^{2} \right )} \leq 125 \cdot 3 \log{\left (- \frac{1}{10} + \frac{5^{\frac{2}{3}}}{5} \right )} + 25 \cdot 7 \log{\left (25 \left(- \frac{1}{10} + \frac{5^{\frac{2}{3}}}{5}\right) \right )}$$
           /               2\                                   /        2/3\
       |  /        2/3\ |           /  5      2/3\          |  1    5   |
       |  |  1    5   | | <= 175*log|- - + 5*5   | + 375*log|- -- + ----|
500*log|5*|- -- + ----| |           \  2         /          \  10    5  /
       \  \  10    5  / /

    значит решение неравенства будет при:
    $$x \leq \frac{5^{\frac{2}{3}}}{5}$$
     _____          
      \    
-------•-------
       x1
    Решение неравенства на графике
    Быстрый ответ [src]
       /      2/3         \
   |     5            |
And|x <= ----, -oo < x|
   \      5           /
    $$x \leq \frac{5^{\frac{2}{3}}}{5} \wedge -\infty < x$$
    Быстрый ответ 2 [src]
           2/3 
      5    
(-oo, ----]
       5
    $$x \in \left(-\infty, \frac{5^{\frac{2}{3}}}{5}\right]$$