250*(1/5)^x<2 (неравенство)

Укажите решение неравенства: 250*(1/5)^x<2 (множество решений неравенства)

Вы ввели

     -x    
250*5   < 2

$$250 \left(\frac{1}{5}\right)^{x} < 2$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$250 \left(\frac{1}{5}\right)^{x} < 2$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$250 \left(\frac{1}{5}\right)^{x} = 2$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$250 \left(\frac{1}{5}\right)^{x} = 2$$
или
$$-2 + 250 \left(\frac{1}{5}\right)^{x} = 0$$
или
$$250 \cdot 5^{- x} = 2$$
или
$$\left(\frac{1}{5}\right)^{x} = \frac{1}{125}$$
- это простейшее показательное ур-ние
Сделаем замену
$$v = \left(\frac{1}{5}\right)^{x}$$
получим
$$v - \frac{1}{125} = 0$$
или
$$v - \frac{1}{125} = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без v)
из левой части в правую, получим:
$$v = \frac{1}{125}$$
делаем обратную замену
$$\left(\frac{1}{5}\right)^{x} = v$$
или
$$x = - \frac{\log{\left(v \right)}}{\log{\left(5 \right)}}$$
$$x_{1} = \frac{1}{125}$$
$$x_{1} = \frac{1}{125}$$
Данные корни
$$x_{1} = \frac{1}{125}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{1}{125}$$
=
$$- \frac{23}{250}$$
подставляем в выражение
$$250 \left(\frac{1}{5}\right)^{x} < 2$$
$$250 \frac{1}{(\frac{1}{5})^{23/250}} < 2$$

      23    
     ---    
     250 < 2
250*5       
    

но

      23    
     ---    
     250 > 2
250*5       
    

Тогда
$$x < \frac{1}{125}$$
не выполняется
значит решение неравенства будет при:
$$x > \frac{1}{125}$$

         _____  
        /
-------ο-------
       x1

Быстрый ответ

3 < x

$$3 < x$$

Быстрый ответ 2

(3, oo)

$$x\ in\ \left(3, \infty\right)$$

График